SSC GD के लिए अंतर्निहित आकृतियाँ और कागज़ मोड़ना

SSC GD के पाठ्यक्रम (syllabus) के अशाब्दिक (non-verbal) भाग के दो प्रकार साथ-साथ चलते हैं। पहला है अंतर्निहित आकृतियाँ (embedded figures), जिसमें एक छोटी आकृति किसी बड़े चित्र में छिपी होती है। दूसरा है कागज़ मोड़ना और काटना (paper folding and cutting), जिसमें आपको सोचना होता है कि एक कागज़ को मोड़ा गया, उसमें छेद किया गया और फिर खोला गया।

दोनों प्रतिभा की परीक्षा जैसे लगते हैं, पर असल में ये तरीके की परीक्षा हैं। नियम आ जाएँ तो आप विकल्पों को घूरने के बजाय एक-एक करके जाँच सकते हैं। यहाँ आकृतियों को शब्दों में और एक सरल ग्रिड पर समझाया गया है; पढ़ते समय इन्हें रफ़ कागज़ पर बनाते चलें।

अंतर्निहित (छिपी हुई) आकृतियाँ

आपको एक सरल आकृति और चार जटिल आकृतियाँ दी जाती हैं। वह जटिल आकृति चुननी है जिसकी रेखाओं में सरल आकृति छिपी हो।

खोजने का तरीका

1. सरल आकृति का सबसे अलग हिस्सा पहचानें: कोई तिरछी रेखा, नुकीला कोना या वक्र।
2. हर विकल्प में वही हिस्सा खोजें। जिन विकल्पों में वह बिल्कुल नहीं है, उन्हें काट दें।
3. बचे हुए विकल्पों में जाँचें कि आकृति का बाकी हिस्सा उस हिस्से के चारों ओर उसी आकार और उसी दिशा में बैठता है या नहीं।

उदाहरण 1. प्रश्न आकृति एक समकोण त्रिभुज है, जिसका समकोण नीचे-बाएँ है और दोनों छोटी भुजाएँ 2 cm लंबी हैं। किस आकृति में यह छिपा है?

• (a) 2 cm का एक वर्ग, जिसमें एक विकर्ण नीचे-बाएँ से ऊपर-दाएँ जाता है।
• (b) 2 cm का एक वर्ग, जिसमें एक विकर्ण ऊपर-बाएँ से नीचे-दाएँ जाता है।
• (c) 4 cm का एक वर्ग, जिसमें एक विकर्ण ऊपर-बाएँ से नीचे-दाएँ जाता है।
• (d) 2 cm का एक वर्ग, जिसे दो मध्य-रेखाओं से चार छोटे वर्गों में बाँटा गया है।

1. अलग हिस्सा तिरछी भुजा है, जो ऊपर-बाएँ से नीचे-दाएँ जाती है।
2. (d) में कोई तिरछी रेखा नहीं है। (a) में रेखा उल्टी ओर झुकी है, इसलिए उसके समकोण नीचे-दाएँ और ऊपर-बाएँ हैं। दोनों को काट दें।
3. (c) में झुकाव सही है, पर भुजाएँ 4 cm की हैं। आकार गलत है।
4. (b) में विकर्ण, नीचे वाली और बाईं भुजा के साथ मिलकर ठीक वही त्रिभुज बनाता है।
5. उत्तर: (b)।

कागज़ मोड़ना: परतें और छेद

कागज़ को आधा मोड़ने पर उसकी दो परतें बनती हैं। फिर से मोड़ें तो चार। एक बार छेद करने पर वह हर परत से होकर जाता है, इसलिए हर परत में एक छेद बनता है।

एक अपवाद: अगर छेद ठीक मोड़ की रेखा पर किया जाए, तो कागज़ खोलने पर दोनों आधे छेद मिलकर उस रेखा पर एक ही छेद बन जाते हैं।

चरण-दर-चरण खोलना

1. आख़िरी मोड़ से शुरू करें और उसे खोलें।
2. हर छेद अब मोड़ की रेखा के दूसरी ओर, दर्पण प्रतिबिंब की तरह, रेखा से उतनी ही दूरी पर फिर से दिखता है।
3. अगला मोड़ खोलें और यही दोहराएँ, अब तक के सभी छेदों का प्रतिबिंब लें।

ग्रिड पर खोलना

एक वर्गाकार कागज़ की कल्पना करें जिस पर 4 × 4 का ग्रिड बना है। बाएँ से दाएँ स्तंभ A, B, C, D हैं। ऊपर से नीचे पंक्तियाँ 1, 2, 3, 4 हैं।

बीच से खड़ा मोड़ स्तंभ B और C के बीच से जाता है, इसलिए A का प्रतिबिंब D है और B का प्रतिबिंब C। आड़ा मोड़ पंक्ति 2 और 3 के बीच से जाता है, इसलिए पंक्ति 1 का प्रतिबिंब पंक्ति 4 है और पंक्ति 2 का प्रतिबिंब पंक्ति 3।

उदाहरण 2 (एक मोड़). बाएँ आधे भाग को दाएँ आधे भाग पर मोड़ा जाता है। C2 पर छेद किया जाता है। खोलने के बाद छेद कहाँ होंगे?

1. एक मोड़ है, इसलिए दो छेद।
2. बीच की रेखा के पार C2 का प्रतिबिंब B2 है।
3. छेद: B2 और C2।

उदाहरण 3 (दो मोड़). ऊपर के आधे भाग को नीचे के आधे भाग पर मोड़ा जाता है। फिर बाएँ आधे भाग को दाएँ आधे भाग पर मोड़ा जाता है। अब मुड़ा हुआ कागज़ केवल C3, C4, D3 और D4 को ढकता है। D4 पर छेद किया जाता है।

1. आख़िरी मोड़ (बाएँ–दाएँ) खोलें: D4 का प्रतिबिंब A4 है।
2. पहला मोड़ (ऊपर–नीचे) खोलें: D4 का प्रतिबिंब D1 है, और A4 का प्रतिबिंब A1 है।
3. छेद: A1, D1, A4 और D4, हर कोने में एक।

उदाहरण 4 (वही मोड़, छेद बीच के पास). अब छेद C3 पर किया जाता है, यानी उस कोने पर जहाँ दोनों मोड़ की रेखाएँ मिलती हैं।

1. बाएँ–दाएँ खोलें: C3 का प्रतिबिंब B3 है।
2. ऊपर–नीचे खोलें: C3 का प्रतिबिंब C2 है, और B3 का प्रतिबिंब B2 है।
3. छेद: B2, B3, C2 और C3, बीच के चारों ओर चार का एक समूह।

उदाहरण 5 (विकर्ण मोड़). कागज़ को ऊपर-बाएँ कोने से नीचे-दाएँ कोने तक के विकर्ण पर मोड़ा जाता है, यानी नीचे-बाएँ वाला आधा भाग ऊपर-दाएँ वाले आधे भाग पर आ जाता है। C1 पर छेद किया जाता है।

1. इस विकर्ण के पार स्तंभ का अक्षर और पंक्ति की संख्या आपस में जगह बदल लेते हैं: C1 यानी स्तंभ 3, पंक्ति 1; इसका प्रतिबिंब स्तंभ 1, पंक्ति 3 है।
2. छेद: C1 और A3।

कागज़ काटना

काटना भी छेद करने की तरह ही काम करता है, पर इसमें कट की आकृति का भी प्रतिबिंब बनता है।

• एक बार मोड़े गए कागज़ में मोड़ के साथ अर्धवृत्त काटने पर खोलने पर पूरा वृत्त बनता है।
• मोड़ के साथ त्रिभुज के आकार का खाँचा काटने पर खोलने पर हीरे (diamond) जैसी आकृति बनती है।
• चार तह में मोड़े गए कागज़ (जैसे उदाहरण 3 में) में वह कोना काटने पर जहाँ दोनों मोड़ मिलते हैं, खोलने पर बीच में एक छेद बनता है। उसके ठीक सामने वाला खुला कोना काटने पर कागज़ के चारों कोने कट जाते हैं।

अभ्यास सेट

1. एक कागज़ को दो बार आधा मोड़कर एक बार छेद किया जाता है। खोलने पर कितने छेद दिखेंगे?
2. एक कागज़ को एक बार मोड़कर दो बार छेद किया जाता है। कितने छेद दिखेंगे?
3. एक बार मोड़े गए कागज़ में मोड़ के साथ अर्धवृत्त काटा जाता है। खोलने पर कौन-सी आकृति दिखेगी?
4. 4 × 4 ग्रिड पर बाएँ आधे भाग को दाएँ आधे भाग पर मोड़कर D1 पर छेद किया जाता है। छेद कहाँ होंगे?
5. ग्रिड पर ऊपर के आधे भाग को नीचे मोड़ा जाता है, फिर बाएँ को दाएँ पर। C4 पर छेद किया जाता है। छेद कहाँ होंगे?
6. ग्रिड पर कागज़ को ऊपर-बाएँ से नीचे-दाएँ वाले विकर्ण पर मोड़ा जाता है, जैसा उदाहरण 5 में है, और D2 पर छेद किया जाता है। छेद कहाँ होंगे?
7. एक कागज़ को एक बार मोड़कर ठीक मोड़ की रेखा पर छेद किया जाता है। कितने छेद दिखेंगे?
8. अंतर्निहित आकृति वाले प्रश्न में, क्या छिपी आकृति प्रश्न आकृति से बड़ी दिख सकती है?

उत्तर:

1. 4। दो मोड़ से चार परतें बनती हैं।
2. 4। दो परतों में से हर एक में दो छेद।
3. एक पूरा वृत्त।
4. A1 और D1।
5. B1, C1, B4 और C4। C4 का प्रतिबिंब B4 है; फिर पंक्ति 4 का प्रतिबिंब पंक्ति 1 है।
6. D2 और B4। स्तंभ 4, पंक्ति 2 बदलकर स्तंभ 2, पंक्ति 4 हो जाता है।
7. 1, मोड़ की रेखा पर।
8. नहीं। जब तक प्रश्न कुछ और न कहे, आकार और दिशा मेल खाने चाहिए।

आगे क्या करें

• एक असली कागज़ मोड़ें, पेन से छेद करें और अपने अनुमान जाँचें।
• रफ़ कागज़ पर ग्रिड तरीके से कागज़ मोड़ने के 10 प्रश्न हल करें।
• अंतर्निहित आकृति के 10 प्रश्न हल करें, हर बार सबसे अलग हिस्से से शुरू करते हुए।
• दर्पण और जल प्रतिबिंब दोहराएँ, जिनमें प्रतिबिंब का यही विचार काम आता है।
• फिर आकृतियों की गिनती आज़माएँ।