RRB Group D के लिए दर्पण प्रतिबिंब, कागज़ मोड़ना और आकृतियों की गिनती

अशाब्दिक (non-verbal) प्रश्न शब्दों की जगह चित्र दिखाते हैं, और बहुत-से अभ्यर्थी इन्हें इसलिए छोड़ देते हैं कि उन्हें उत्तर "दिखता नहीं"। यह गलती है। हर प्रकार एक तय नियम पर चलता है, और नियम लगाने के बाद आप आकृतियों की कल्पना नहीं करते, केवल विकल्पों को जाँचते हैं। ये प्रश्न जल्दी भी होते हैं: नियम साफ़ हो तो ज़्यादातर प्रश्न 30 से 45 सेकंड लेते हैं।

इस साइट पर चित्र नहीं हैं, इसलिए नीचे हर आकृति शब्दों में या नाम लिखे ग्रिड पर बताई गई है। पढ़ते समय हर आकृति को रफ़ कागज़ पर बनाते जाएँ। परीक्षा में भी आपको ठीक यही करना चाहिए।

दर्पण प्रतिबिंब

किसी आकृति के दाएँ या बाएँ रखा दर्पण (mirror) उसे बाएँ से दाएँ पलट देता है। ऊपर का हिस्सा ऊपर और नीचे का हिस्सा नीचे ही रहता है।

• ऐसे दर्पण में जो बड़े (capital) अक्षर वैसे ही दिखते हैं: A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y। इन सबमें एक खड़ी सममित रेखा (vertical line of symmetry) होती है।
• शब्द उल्टा हो जाता है, और हर अक्षर भी पलट जाता है। "RAIL" दर्पण में "LIAR" जैसा दिखता है, और हर अक्षर उल्टा होता है।
• जो शब्द केवल ऊपर की सूची के अक्षरों से बना हो और उल्टा पढ़ने पर भी वही रहे, वह बिना बदले दिखता है: "MOM", "WOW", "TOOT"।

अगर प्रश्न कहे कि दर्पण आकृति के ऊपर या नीचे रखा है, तो उसे जल प्रतिबिंब की तरह हल करें।

जल प्रतिबिंब

पानी में बना प्रतिबिंब (water image) आकृति को ऊपर से नीचे पलट देता है। बायाँ और दायाँ वैसे ही रहते हैं, और शब्द के अक्षरों का क्रम नहीं बदलता।

• जो बड़े अक्षर पानी में वैसे ही दिखते हैं: B, C, D, E, H, I, K, O, X। इन सबमें एक आड़ी सममित रेखा (horizontal line of symmetry) होती है।
• इसलिए "BOX" और "CHECK" पानी में बिना बदले दिखते हैं, क्योंकि इनका हर अक्षर इसी सूची में है।
• दोनों सूचियों में आने वाले अक्षर: H, I, O, X।

घड़ी के दर्पण प्रतिबिंब के लिए चित्र बनाने की जगह एक सूत्र लगता है: कैलेंडर और घड़ी देखें।

कागज़ मोड़ना और छेद करना

दो नियम सारा काम कर देते हैं:

• हर मोड़ परतों को दोगुना कर देता है, इसलिए एक बार मोड़े गए कागज़ में एक छेद करने से 2 छेद बनते हैं, दो बार मोड़ने पर 4 छेद, तीन बार मोड़ने पर 8 छेद।
• कागज़ खोलने पर हर छेद मोड़ की रेखा के आर-पार दर्पण प्रतिबिंब के रूप में फिर से दिखता है।

ग्रिड पर हल किया गया उदाहरण

एक वर्गाकार कागज़ की कल्पना करें, जो 4 × 4 ग्रिड में बँटा है। पंक्तियों को ऊपर से नीचे 1 से 4 नाम दें, और स्तंभों को बाएँ से दाएँ A से D।

1. बाएँ आधे हिस्से को दाएँ आधे हिस्से पर मोड़ें। मोड़ की रेखा स्तंभ B और C के बीच से जाती है। मुड़ा हुआ कागज़ अब स्तंभ C और D पर है।
2. ऊपर के आधे हिस्से को नीचे के आधे हिस्से पर मोड़ें। मोड़ की रेखा पंक्ति 2 और 3 के बीच से जाती है। मुड़ा हुआ कागज़ अब केवल स्तंभ C–D की पंक्ति 3–4 पर है।
3. खाने 4C में एक छेद करें।

अब उल्टे क्रम में खोलें:

• ऊपर से नीचे वाला मोड़ खोलें। पंक्ति 4 का प्रतिबिंब पंक्ति 1 में बनता है, इसलिए छेद 4C और 1C पर हैं।
• बाएँ से दाएँ वाला मोड़ खोलें। स्तंभ C का प्रतिबिंब स्तंभ B में बनता है, इसलिए हर छेद का एक जोड़ीदार बन जाता है: 4C, 1C, 4B, 1B।

चार छेद, ठीक जैसा दोगुना करने का नियम बताता है: दो मोड़, एक छेद, 2 × 2 = 4।

वर्ग गिनना

n × n छोटे वर्गों वाले वर्गाकार ग्रिड में हर आकार के वर्ग अलग-अलग गिनें और जोड़ दें। कुल संख्या 1² + 2² + … + n² होती है।

आयताकार ग्रिड में हर आकार एक-एक करके गिनें। 2 वर्ग ऊँचे और 3 वर्ग चौड़े ग्रिड में 6 छोटे वर्ग हैं और 2 × 2 आकार के 2 वर्ग (एक बाईं ओर, एक दाईं ओर), इसलिए कुल 8।

त्रिभुज गिनना

एक कोने से खींची गई रेखाएँ। एक त्रिभुज बनाएँ और फिर ऊपर वाले कोने से आधार तक रेखाएँ खींचें। अगर आप ऐसी n रेखाएँ खींचते हैं, तो आधार n + 1 टुकड़ों में कट जाता है और त्रिभुजों की संख्या यह होती है:

हर त्रिभुज किन्हीं दो तिरछी रेखाओं (दोनों भुजाओं समेत) को चुनकर बनता है, इसलिए क्रम 3, 6, 10, 15 चलता है।

एक आड़ी रेखा जोड़ें। अगर एक आड़ी रेखा इन सब रेखाओं को काटती है, तो वह एक दूसरा "आधार" बना देती है। गिनती दोगुनी हो जाती है। उदाहरण के लिए, ऊपर वाले कोने से 2 रेखाएँ और 1 आड़ी रेखा से 6 × 2 = 12 त्रिभुज बनते हैं।

दोनों विकर्णों वाला वर्ग। केंद्र पर मिलने वाले 4 छोटे त्रिभुज हैं, और 4 बड़े (हर विकर्ण वर्ग को 2 आधे हिस्सों में काटता है)। कुल 8।

पासा

• मानक पासे (standard die) पर आमने-सामने के फलकों का योग 7 होता है: 1–6, 2–5 और 3–4।
• पासे के किसी भी चित्र में एक साथ दिखने वाले दो फलक एक-दूसरे के बगल में होते हैं, इसलिए वे आमने-सामने नहीं हो सकते।
• किसी संख्या के सामने वाला फलक ढूँढने के लिए, उसके बगल में कभी भी दिखी हर संख्या की सूची बनाएँ। जो एक संख्या उसके बगल में कभी नहीं दिखी, वही उसके सामने है।

हल किया गया उदाहरण। एक पासा (ज़रूरी नहीं कि मानक हो) दो स्थितियों में दिखाया गया है। पहली में 1, 2 और 3 वाले फलक दिख रहे हैं। दूसरी में 1, 5 और 6 वाले फलक दिख रहे हैं। 1 के सामने कौन-सी संख्या है?

• 1 के बगल में दिखीं: 2, 3, 5 और 6।
• 1 के बगल में कभी नहीं दिखी: 4। इसलिए 4, 1 के सामने है।

यह पासा मानक नहीं है (1 और 6 आमने-सामने नहीं हैं), इसीलिए "योग 7" वाला नियम तभी लगाएँ जब प्रश्न कहे कि पासा मानक है।

आकृति श्रृंखला

आकृति श्रृंखला (figure series) में कोई एक विशेषता कदम-दर-कदम बदलती है: स्थान, घुमाव, रेखाओं की संख्या या छायांकन। बदलाव को शब्दों में लिखें और उसे आगे बढ़ाएँ।

हल किया गया उदाहरण। आकृति 1 में एक तीर ऊपर की ओर है। हर अगली आकृति में वह 45° दक्षिणावर्त (clockwise) घूमता है। आकृति 5 में वह किस ओर होगा?

• आकृति 2: ऊपर-दाएँ। आकृति 3: दाएँ। आकृति 4: नीचे-दाएँ। आकृति 5: नीचे।
• जाँच: 45° के चार घुमाव 180° होते हैं, और ऊपर की दिशा 180° घूमकर नीचे हो जाती है।

अभ्यास सेट

1. 3 × 3 ग्रिड में कितने वर्ग हैं?
2. 4 × 4 ग्रिड में कितने वर्ग हैं?
3. एक कागज़ को तीन बार मोड़कर एक बार छेद किया जाता है। खोलने पर कितने छेद दिखेंगे?
4. इनमें से कौन-से अक्षर बगल वाले दर्पण में वैसे ही दिखते हैं: H, N, O, R?
5. कौन-सा शब्द पानी में बिना बदले दिखता है: BOX, BAT या CUP?
6. मानक पासे पर 3 के सामने कौन-सी संख्या है?
7. एक त्रिभुज के ऊपर वाले कोने से आधार तक तीन रेखाएँ खींची जाती हैं। कितने त्रिभुज बनते हैं?
8. आकृति 1 में एक तीर ऊपर की ओर है और हर अगली आकृति में 90° दक्षिणावर्त घूमता है। आकृति 7 में वह किस ओर होगा?

उत्तर:

1. 14। 9 + 4 + 1।
2. 30। 16 + 9 + 4 + 1।
3. 8। 2 × 2 × 2।
4. H और O। N और R खड़ी रेखा के आर-पार सममित नहीं हैं।
5. BOX। A, T, U और P आड़ी रेखा के आर-पार सममित नहीं हैं।
6. 4। 3 + 4 = 7।
7. 10। क्रम 3, 6, 10।
8. नीचे। 90° के छह घुमाव 540° होते हैं, जो 360° + 180° है।

आगे क्या करें

• अक्षरों की दोनों सूचियाँ याद कर लें: बगल वाला दर्पण और पानी।
• वर्गों की गिनती (5, 14, 30) और त्रिभुजों का क्रम (3, 6, 10, 15) याद कर लें।
• एक हफ़्ते तक रोज़ आकृतियों वाले दस प्रश्नों का अभ्यास करें, और हर आकृति रफ़ कागज़ पर बनाएँ।
• सारे नियम तर्कशक्ति (रीज़निंग) की दोहराव (revision) शीट में एक साथ दोहराएँ।