RRB Group D के लिए बीजगणित की बुनियादी बातें

RRB Group D में बीजगणित (algebra) कक्षा 9–10 के स्तर का होता है और छोटा होता है। आपसे कुछ सिद्ध करने को नहीं कहा जाएगा। आपसे कहा जाएगा कि किसी मान को निकालने के लिए सर्वसमिका (identity) लगाएँ, या एक सरल समीकरण हल करें। यह समीकरण अक्सर एक शाब्दिक प्रश्न के रूप में आता है।

इसी वजह से यह पक्के अंक दिलाने वाले सबसे आसान टॉपिक में से एक है। पूरा औज़ार-बक्सा आधे पन्ने में आ जाता है, और हर उत्तर को किसी छोटी संख्या से कुछ सेकंड में जाँचा जा सकता है। यह गाइड आपको वही औज़ार देती है, हर प्रकार का प्रश्न हल करके दिखाती है, और अंत में एक अभ्यास सेट देती है।

याद करने वाली सर्वसमिकाएँ

इन्हें इतना याद करें कि बिना सोचे लिख सकें। बीजगणित का लगभग हर प्रश्न इनमें से किसी एक का उपयोग करता है।

प्रश्नों में असल में काम आने वाले रूप

ज़्यादातर प्रश्न आपको दो जानकारियाँ देते हैं और तीसरी पूछते हैं। सर्वसमिकाओं को थोड़ा उलट-पलट कर लिखने से ये शॉर्टकट मिलते हैं:

• a² + b² = (a + b)² − 2ab
• a² + b² = (a − b)² + 2ab
• (a + b)² − (a − b)² = 4ab
• x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2
• x² + 1/x² = (x − 1/x)² + 2
• x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x)

रैखिक समीकरण हल करना, चरण-दर-चरण

रैखिक समीकरण (linear equation) में अज्ञात राशि की घात केवल 1 होती है। हर बार यही चार चरण अपनाएँ:

1. कोष्ठक हटाएँ। 5(x − 2) जैसी हर चीज़ को गुणा करके खोल दें।
2. भिन्न हटाएँ। हर पद को हरों के LCM से गुणा करें।
3. पद इकट्ठा करें। अज्ञात राशियाँ एक ओर, सामान्य संख्याएँ दूसरी ओर। कोई पद = चिह्न के पार जाते ही अपना चिह्न बदल लेता है।
4. x के आगे लगी संख्या से भाग दें, फिर उत्तर को वापस रखकर जाँचें।

दो अज्ञात राशियों वाले दो समीकरणों के लिए, समीकरणों को ऐसे जोड़ें या घटाएँ कि एक अज्ञात राशि हट जाए। इसे विलोपन विधि (elimination) कहते हैं। परीक्षा के प्रश्नों में यह प्रतिस्थापन विधि (substitution) से तेज़ है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: यदि x + 1/x = 4 है, तो x² + 1/x² और x⁴ + 1/x⁴ ज्ञात करें।

• x² + 1/x² = 4² − 2 = 16 − 2 = 14।
• यही तरीका एक स्तर ऊपर फिर लगाएँ: x⁴ + 1/x⁴ = 14² − 2 = 196 − 2 = 194।

उदाहरण 2: यदि a + b = 10 और ab = 21 है, तो a² + b² और a − b ज्ञात करें (जहाँ a > b)।

• a² + b² = 10² − 2 × 21 = 100 − 42 = 58।
• (a − b)² = (a + b)² − 4ab = 100 − 84 = 16, इसलिए a − b = 4।
• संख्याओं से जाँच: a और b क्रमशः 7 और 3 हैं। तब 49 + 9 = 58 और 7 − 3 = 4।

उदाहरण 3: लंबा गुणा किए बिना 53 × 47 ज्ञात करें।

• 53 × 47 = (50 + 3)(50 − 3) = 50² − 3² = 2,500 − 9 = 2,491।

उदाहरण 4: 5(x − 2) = 3x + 6 को हल करें।

• कोष्ठक हटाएँ: 5x − 10 = 3x + 6।
• पद इकट्ठा करें: 5x − 3x = 6 + 10, इसलिए 2x = 16 और x = 8।
• जाँच: 5 × 6 = 30 और 3 × 8 + 6 = 30।

उदाहरण 5: x/3 + x/4 = 14 को हल करें।

• 3 और 4 का LCM 12 है। हर पद को 12 से गुणा करें: 4x + 3x = 168।
• 7x = 168, इसलिए x = 24।
• जाँच: 24/3 + 24/4 = 8 + 6 = 14।

उदाहरण 6: तीन पेन और दो कॉपियों का मूल्य ₹74 है। एक पेन और एक कॉपी का कुल मूल्य ₹30 है। हर एक का मूल्य ज्ञात करें।

• मान लें एक पेन का मूल्य p और एक कॉपी का मूल्य n है। तब 3p + 2n = 74 और p + n = 30।
• दूसरे समीकरण को दोगुना करें: 2p + 2n = 60।
• इसे पहले समीकरण में से घटाएँ: p = 74 − 60 = ₹14। इसलिए n = 30 − 14 = ₹16।
• जाँच: 3 × 14 + 2 × 16 = 42 + 32 = 74।

संख्या रखकर जाँचने की ट्रिक

जब प्रश्न में a + b और ab दिए हों, तो ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ पहचानने की कोशिश करें जो इन पर फिट हों, जैसा उदाहरण 2 में किया। फिर सीधे उत्तर निकाल लें।

जब प्रश्न किसी व्यंजक को सरल करने को कहे और विकल्प भी व्यंजक हों, तो प्रश्न में और हर विकल्प में x = 1 या x = 2 जैसा कोई छोटा मान रखें। केवल सही विकल्प ही वही संख्या देगा। अगर x = 0 और x = 1 रखने पर कई विकल्प बराबर आ जाएँ, तो इनसे बचें; इसके बजाय x = 2 रखकर देखें।

आम गलतियाँ

• (a + b)² को a² + b² लिख देना, यानी बीच का पद 2ab छोड़ देना।
• x + 1/x वाले प्रश्नों में 2 घटाना भूल जाना, या जब प्रश्न में x − 1/x हो तब भी 2 घटा देना (वहाँ 2 जोड़ा जाता है)।
• = चिह्न के पार पद ले जाते समय चिह्न की गलती।
• भिन्न हटाते समय केवल कुछ पदों को LCM से गुणा करना। दोनों ओर के हर पद को गुणा करना ज़रूरी है।
• x निकालकर रुक जाना, जबकि प्रश्न ने 2x या दूसरी अज्ञात राशि पूछी थी।

अभ्यास सेट

1. यदि x + 1/x = 5 है, तो x² + 1/x² ज्ञात करें।
2. यदि a + b = 8 और ab = 15 है, तो a² + b² ज्ञात करें।
3. 3x − 7 = 14 को हल करें।
4. x + y = 15 और x − y = 3 को हल करें।
5. यदि a − b = 4 और ab = 12 है, तो a² + b² ज्ञात करें।
6. यदि x − 1/x = 3 है, तो x² + 1/x² ज्ञात करें।
7. सर्वसमिका का उपयोग करके 102 × 98 ज्ञात करें।
8. यदि x + 1/x = 3 है, तो x³ + 1/x³ ज्ञात करें।

उत्तर:

1. 23। 5² − 2 = 25 − 2।
2. 34। 8² − 2 × 15 = 64 − 30। संख्याएँ 5 और 3 हैं।
3. x = 7। 3x = 21।
4. x = 9, y = 6। जोड़ने पर 2x = 18।
5. 40। (a − b)² + 2ab = 16 + 24। संख्याएँ 6 और 2 हैं।
6. 11। ऋण चिह्न हो तो 2 जोड़ें: 3² + 2 = 9 + 2।
7. 9,996। (100 + 2)(100 − 2) = 10,000 − 4।
8. 18। 3³ − 3 × 3 = 27 − 9।

आगे क्या करें

• एक हफ़्ते तक रोज़ एक बार सातों सर्वसमिकाएँ और छहों "काम के रूप" याद से लिखें।
• x + 1/x और a + b, ab वाले दस प्रश्न हल करें, और जहाँ हो सके हर एक को असली संख्याओं से जाँचें।
• ऐसे पाँच शाब्दिक प्रश्नों का अभ्यास करें जो दो समीकरणों में बदल जाते हैं, जैसे उदाहरण 6।
• वर्ग और वर्गमूल दोहराएँ, जिनसे सर्वसमिका वाले प्रश्न तेज़ी से हल होते हैं, फिर ज्यामिति पर जाएँ।