इस गाइड में
वर्ग (square) और घन (cube) अपने आप में बड़ा टॉपिक नहीं हैं, पर ये हर जगह आते हैं। सरलीकरण, क्षेत्रमिति, ज्यामिति में पाइथागोरस, और संख्या पद्धति के प्रश्न, सब यह मानकर चलते हैं कि आप 23² या ∛2,744 बिना रुके लिख सकते हैं। जो अभ्यर्थी नीचे दी गई तालिकाएँ जानते हैं, वे कई प्रश्नों पर कुछ-कुछ सेकंड बचाते हैं, और पूरे प्रश्नपत्र में यह कठिन प्रश्नों के लिए अतिरिक्त समय बन जाता है।
यह गाइड आपको याद करने वाली तालिकाएँ, मूल (root) जल्दी निकालने वाले इकाई के अंक के नियम, और सीधे पूछे जाने वाले प्रश्नों के प्रकार देती है।
याद करने वाले वर्ग
1² से 10² तक शायद आपको पहले से याद हैं। अब ये याद करें:
| n | n² | n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|---|---|
| 11 | 121 | 18 | 324 | 25 | 625 |
| 12 | 144 | 19 | 361 | 26 | 676 |
| 13 | 169 | 20 | 400 | 27 | 729 |
| 14 | 196 | 21 | 441 | 28 | 784 |
| 15 | 225 | 22 | 484 | 29 | 841 |
| 16 | 256 | 23 | 529 | 30 | 900 |
| 17 | 289 | 24 | 576 |
याद करने वाले घन
| n | n³ | n | n³ | n | n³ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 6 | 216 | 11 | 1,331 |
| 2 | 8 | 7 | 343 | 12 | 1,728 |
| 3 | 27 | 8 | 512 | 13 | 2,197 |
| 4 | 64 | 9 | 729 | 14 | 2,744 |
| 5 | 125 | 10 | 1,000 | 15 | 3,375 |
इकाई के अंक के नियम
किसी वर्ग या घन का अंतिम अंक, यानी इकाई का अंक (unit digit), उसके मूल के बारे में बहुत कुछ बता देता है।
| संख्या का अंतिम अंक | वर्गमूल का अंतिम अंक | घनमूल का अंतिम अंक |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 या 9 | 1 |
| 2 | (कभी वर्ग नहीं) | 8 |
| 3 | (कभी वर्ग नहीं) | 7 |
| 4 | 2 या 8 | 4 |
| 5 | 5 | 5 |
| 6 | 4 या 6 | 6 |
| 7 | (कभी वर्ग नहीं) | 3 |
| 8 | (कभी वर्ग नहीं) | 2 |
| 9 | 3 या 7 | 9 |
तेज़ी से वर्ग निकालना
5 पर खत्म होने वाली संख्याएँ: पहले भाग को उससे अगली संख्या से गुणा करें, फिर 25 लिख दें।
- 35²: 3 × 4 = 12, इसलिए 1,225।
- 65²: 6 × 7 = 42, इसलिए 4,225।
- 85²: 8 × 9 = 72, इसलिए 7,225।
50 या 100 के पास की संख्याएँ: (a + b)² = a² + 2ab + b² या (a − b)² = a² − 2ab + b² लगाएँ।
- 52² = 2,500 + 200 + 4 = 2,704।
- 98² = 10,000 − 400 + 4 = 9,604।
हमारी BODMAS वाली गाइड में तेज़ गुणा की और सर्वसमिकाएँ हैं।
वर्गमूल जल्दी निकालना
- इकाई का अंक देखकर दो संभावित अंतिम अंक निकालें।
- पता करें कि संख्या किन दो दहाइयों के बीच है।
- दोनों संभावित उत्तरों में से चुनें। उस दायरे में 5 पर खत्म होने वाली संख्या एक काम का बीच का बिंदु है: अगर दी गई संख्या उस वर्ग से बड़ी है, तो बड़ा विकल्प लें।
जिन संख्याओं का दायरा तय करना मुश्किल हो, उनके लिए अभाज्य गुणनखंड (prime factors) लें: बराबर अभाज्य संख्याओं के जोड़े बनाएँ और हर जोड़े से एक लें। √1,764 = √(2² × 3² × 7²) = 2 × 3 × 7 = 42। गुणनखंड निकालने के लिए संख्या पद्धति वाली गाइड देखें।
घनमूल जल्दी निकालना
4 से 6 अंकों वाले पूर्ण घन के लिए:
- अंतिम तीन अंक मूल का इकाई का अंक बताते हैं (तालिका देखें)।
- उन तीन अंकों से पहले वाले अंक दहाई का अंक बताते हैं: वह सबसे बड़ा घन ढूँढें जो उस संख्या से अधिक न हो।
दशमलव के मूल
दशमलव स्थान गिनें। वर्गमूल लेने पर दशमलव स्थान आधे हो जाते हैं, इसलिए संख्या में दशमलव स्थानों की गिनती सम होनी चाहिए।
- √0.0081 = √(81/10,000) = 9/100 = 0.09।
- √0.16 = 0.4।
पूर्ण वर्ग बनाना
संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें। पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य संख्या सम बार आनी चाहिए।
- सबसे छोटा गुणक: जो अभाज्य संख्याएँ जोड़े से बाहर बची हैं, उनसे गुणा करें।
- सबसे छोटा भाजक: उन्हीं बची हुई अभाज्य संख्याओं से भाग दें।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1: √2,304 ज्ञात करें।
- इकाई का अंक 4 है, इसलिए मूल 2 या 8 पर खत्म होगा।
- 40² = 1,600 और 50² = 2,500, इसलिए मूल 40 और 50 के बीच है: 42 या 48।
- 45² = 2,025, और 2,304 उससे बड़ा है, इसलिए बड़ा लें: 48। जाँच: 48² = 2,304।
उदाहरण 2: ∛10,648 ज्ञात करें।
- अंतिम तीन अंक 648 हैं, जो 8 पर खत्म होते हैं, इसलिए मूल 2 पर खत्म होगा।
- पहले वाला भाग 10 है। 10 से अधिक न होने वाला सबसे बड़ा घन 8 = 2³ है, इसलिए दहाई का अंक 2 है।
- मूल = 22। जाँच: 22³ = 10,648।
उदाहरण 3: वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जिससे 72 को गुणा करने पर पूर्ण वर्ग बने।
- 72 = 2³ × 3²। एक 2 जोड़े से बाहर है।
- 2 से गुणा करें: 144 = 12²।
उदाहरण 4: वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जिससे 3,888 को भाग देने पर पूर्ण वर्ग बने।
- 3,888 = 2⁴ × 3⁵। एक 3 जोड़े से बाहर है।
- 3 से भाग दें: 1,296 = 36²।
उदाहरण 5: √0.16 + √0.0049
- √0.16 = 0.4 और √0.0049 = 0.07।
- 0.4 + 0.07 = 0.47।
आम गलतियाँ
- "5 पर खत्म होने वाले" वर्ग से जाँचे बिना इकाई के अंक वाले दो विकल्पों में से गलत चुन लेना।
- दशमलव के मूल में दशमलव स्थान गलत कर देना।
- घनमूल के इकाई के अंकों में गड़बड़: 2 पर खत्म होने वाले घन का मूल 8 पर खत्म होता है, और इसका उलटा भी।
- केवल जोड़े से बाहर बची अभाज्य संख्या के बजाय पूरी संख्या से गुणा कर देना।
अभ्यास सेट
- 45² कितना है?
- √5,776 ज्ञात करें।
- ∛2,744 ज्ञात करें।
- √0.0144 ज्ञात करें।
- ∛29,791 ज्ञात करें।
- √169 + √144 − ∛125
- 1,000 में से कम से कम कौन-सी संख्या घटाई जाए कि पूर्ण वर्ग बने?
- इनमें से कौन पूर्ण वर्ग नहीं हो सकता: 1,156, 2,187, 3,025?
उत्तर:
- 2,025। 4 × 5 = 20, फिर 25।
- 76। 6 पर खत्म होता है, इसलिए 74 या 76; 75² = 5,625, जो 5,776 से छोटा है, इसलिए 76 लें।
- 14। घन वाली तालिका से।
- 0.12। √(144/10,000) = 12/100।
- 31। 791 का अंतिम अंक 1 है, इसलिए इकाई का अंक 1; 27 ≤ 29 < 64, इसलिए दहाई का अंक 3।
- 20। 13 + 12 − 5।
- 39। 1,000 से छोटा सबसे बड़ा वर्ग 31² = 961 है; 1,000 − 961 = 39।
- 2,187। यह 7 पर खत्म होता है, और कोई पूर्ण वर्ग 7 पर खत्म नहीं होता। (1,156 = 34² और 3,025 = 55²।)
आगे क्या करें
- 30 तक के वर्ग और 15 तक के घन रोज़ कुछ पंक्तियाँ करके याद करें, जब तक तालिका देखे बिना याद न आने लगें।
- इकाई के अंक वाली तालिका एक कार्ड पर उतारें और उसकी मदद से दस वर्गमूल और पाँच घनमूल निकालने का अभ्यास करें।
- अभाज्य गुणनखंड से "सबसे छोटा गुणक या भाजक" वाले पाँच प्रश्न हल करें।
- इन तालिकाओं का इस्तेमाल BODMAS और सरलीकरण में और गणित योजना में करें।
तारीख़ों और आँकड़ों पर एक बात। परीक्षा का पैटर्न, रिक्तियाँ और कार्यक्रम हर साल बदल सकते हैं। ताज़ा जानकारी हमेशा Railway Recruitment Boards की वेबसाइट पर जारी नवीनतम अधिसूचना में देखें।
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