RRB Group D के लिए समय और कार्य

समय और कार्य (time and work) के प्रश्न एक छोटी कहानी सुनाते हैं: दो लोग एक काम बाँटते हैं, कोई श्रमिक आधे में काम छोड़ देता है, कोई रिसाव टंकी को धीमा कर देता है। पर इन सबके नीचे एक ही विचार है। अगर कोई एक काम n दिन में पूरा करता है, तो वह हर दिन उसका 1/n भाग करता है। बाकी सब इन्हीं दैनिक हिस्सों को जोड़ना और घटाना है।

भिन्नों से यह धीमा हो जाता है और गलती की गुंजाइश बढ़ जाती है। नीचे दी गई कुल कार्य विधि भिन्नों की जगह पूर्ण संख्याएँ ले आती है, और परीक्षा हॉल में ज़्यादातर अभ्यर्थियों को यही विधि सबसे तेज़ लगती है।

कुल कार्य विधि

1. कुल कार्य = दिए गए दिनों (या घंटों) का LCM मानें।
2. हर व्यक्ति एक दिन में कितनी इकाइयाँ करता है, यह निकालें: कुल ÷ उसके दिन।
3. साथ काम करने वालों की दैनिक इकाइयाँ जोड़ें (जो काम बिगाड़ता है, उसकी घटाएँ)।
4. समय = कार्य ÷ प्रतिदिन की इकाइयाँ।

A के 15 दिन और B के 10 दिन हों, तो कुल कार्य = LCM(15, 10) = 30 इकाइयाँ। A रोज़ 2 इकाइयाँ करता है, B 3। मिलकर रोज़ 5 इकाइयाँ, इसलिए 30 ÷ 5 = 6 दिन।

अगर LCM दोहराना हो, तो हमारी LCM और HCF वाली गाइड देखें।

कार्यक्षमता

कार्यक्षमता (efficiency) यह है कि कोई एक दिन में कितना काम करता है। यह समय से उलटी चलती है: अगर A, B से दोगुना कार्यक्षम है, तो A आधा समय लेता है।

• कार्यक्षमता का अनुपात A : B = 2 : 1 हो, तो समय का अनुपात A : B = 1 : 2।
• "A, B से 50% अधिक कार्यक्षम है" का अर्थ है कार्यक्षमता 3 : 2, इसलिए समय 2 : 3।

श्रमिक, दिन और घंटे

जब एक ही काम अलग-अलग आकार की टीमें करती हैं, तो कुल मेहनत वही रहती है:

• श्रमिक × दिन = स्थिर, या घंटों के साथ: श्रमिक × दिन × घंटे = स्थिर।
• अगर काम की मात्रा भी बदले, तो उससे भाग दें: (M₁ × D₁ × H₁) ÷ W₁ = (M₂ × D₂ × H₂) ÷ W₂।

ज़्यादा श्रमिक यानी कम दिन। यह व्युत्क्रम समानुपात (inverse proportion) है, इसलिए उत्तर हमेशा समझ में आना चाहिए: टीम दोगुनी करने पर समय आधा हो जाता है।

नल और टंकी

टंकी बस एक काम है, और नल (pipes) श्रमिक हैं। भरने वाले नल काम जोड़ते हैं; खाली करने वाले नल और रिसाव (leak) काम घटाते हैं। घंटों या मिनटों के साथ वही LCM विधि लगाएँ।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: A और B मिलकर 8 दिन लेते हैं। A अकेले 24 दिन लेता है। B अकेले कितने दिन लेगा?

• कुल कार्य = LCM(8, 24) = 24 इकाइयाँ।
• मिलकर: रोज़ 3 इकाइयाँ। A: रोज़ 1 इकाई। इसलिए B: रोज़ 2 इकाइयाँ।
• B अकेले = 24 ÷ 2 = 12 दिन।

उदाहरण 2: A, B से दोगुना कार्यक्षम है। B अकेले 30 दिन लेता है। दोनों मिलकर कितने दिन लेंगे?

• A, B का आधा समय लेता है: 15 दिन।
• कुल = 30 इकाइयाँ। A रोज़ 2 करता है, B रोज़ 1, मिलकर 3।
• 30 ÷ 3 = 10 दिन।

उदाहरण 3: A एक काम 20 दिन में और B 30 दिन में कर सकता है। वे 6 दिन मिलकर काम करते हैं, फिर A काम छोड़ देता है। बाकी काम पूरा करने में B कितने दिन लेगा?

• कुल = 60 इकाइयाँ। A: रोज़ 3, B: रोज़ 2।
• 6 दिन मिलकर: 6 × 5 = 30 इकाइयाँ पूरी। 30 इकाइयाँ बचीं।
• B अकेले: 30 ÷ 2 = 15 दिन और।

उदाहरण 4: 12 श्रमिक रोज़ 8 घंटे काम करके एक काम 10 दिन में पूरा करते हैं। 20 श्रमिक रोज़ 6 घंटे काम करके कितने दिन लेंगे?

• कुल मेहनत = 12 × 8 × 10 = 960 श्रमिक-घंटे।
• 20 × 6 × D = 960, इसलिए D = 8 दिन।

उदाहरण 5: नल A एक टंकी को 6 घंटे में और नल B 12 घंटे में भरता है। नल C उसे 8 घंटे में खाली करता है। तीनों खुले हैं। टंकी भरने में कितना समय लगेगा?

• कुल = LCM(6, 12, 8) = 24 इकाइयाँ।
• हर घंटे A: +4, B: +2, C: −3। कुल = 3 इकाइयाँ प्रति घंटा।
• 24 ÷ 3 = 8 घंटे।

आम गलतियाँ

• प्रतिदिन का काम जोड़ने के बजाय दिन जोड़ देना (15 + 10 = 25)।
• यह भूल जाना कि ज़्यादा श्रमिकों को कम दिन लगते हैं।
• रिसाव को घटाने के बजाय जोड़ देना।
• "दोगुना कार्यक्षम" को "दोगुना समय लेता है" समझ लेना।
• "कोई काम छोड़ देता है" वाले प्रश्नों में उसके जाने से पहले हो चुका काम भूल जाना।

अभ्यास सेट

1. A 12 दिन और B 24 दिन लेता है। दोनों मिलकर कितने दिन लेंगे?
2. A और B मिलकर 6 दिन लेते हैं। A अकेले 9 दिन लेता है। B अकेले कितने दिन लेगा?
3. 10 श्रमिक एक काम 12 दिन में पूरा करते हैं। 8 श्रमिक कितने दिन लेंगे?
4. एक नल टंकी को 5 घंटे में भरता है; एक रिसाव उसे 20 घंटे में खाली कर देता है। रिसाव खुला रहने पर टंकी भरने में कितना समय लगेगा?
5. A, B से दोगुनी तेज़ी से काम करता है। मिलकर वे एक काम 10 दिन में पूरा करते हैं। B अकेले कितने दिन लेगा?
6. A, B और C एक काम 10, 12 और 15 दिन में पूरा कर सकते हैं। तीनों मिलकर कितने दिन लेंगे?
7. दो नल एक टंकी को 20 मिनट और 30 मिनट में भरते हैं। दोनों मिलकर कितना समय लेंगे?
8. A एक काम 10 दिन में कर सकता है। A 4 दिन काम करता है, और बाकी काम B 9 दिन में पूरा करता है। B अकेले कितने दिन लेगा?

उत्तर:

1. 8 दिन। कुल 24: A 2, B 1; 24 ÷ 3।
2. 18 दिन। कुल 18: मिलकर 3, A 2, इसलिए B 1; 18 ÷ 1।
3. 15 दिन। 10 × 12 = 8 × D।
4. 6 घंटे 40 मिनट। कुल 20: भरना +4, रिसाव −1, कुल 3; 20 ÷ 3 = 6⅔ घंटे।
5. 30 दिन। कार्यक्षमता 2 : 1, मिलकर रोज़ 3 इकाइयाँ, 10 दिन में = 30 इकाइयाँ; B रोज़ 1 करता है।
6. 4 दिन। कुल 60: 6 + 5 + 4 = रोज़ 15; 60 ÷ 15।
7. 12 मिनट। कुल 60: 3 + 2 = प्रति मिनट 5; 60 ÷ 5।
8. 15 दिन। A 4 दिन में 4/10 = 2/5 काम करता है; बाकी 3/5 काम B 9 दिन में करता है, इसलिए पूरा काम 9 ÷ 3/5 = 15 दिन में होगा।

आगे क्या करें

• दो व्यक्तियों वाले दस प्रश्न LCM विधि से हल करें, भिन्नों से कभी नहीं।
• "कोई बीच में काम छोड़ देता है" वाले तीन और नल-और-रिसाव वाले तीन प्रश्नों का अभ्यास करें।
• कार्यक्षमता–समय का नियम याद करें: कार्यक्षमता दोगुनी, समय आधा।
• समय, चाल और दूरी पर आगे बढ़ें, जिसमें यही "दर × समय" वाली सोच लगती है।