SSC GD के लिए औसत

संख्याओं के किसी समूह का औसत (average) उनका योग भाग उनकी गिनती है। यह समूह का सामान्य मान बताता है। अगर पाँच अभ्यर्थी 12, 15, 18, 21 और 24 अंक पाते हैं, तो योग 90 है और औसत 90 ÷ 5 = 18 है।

औसत के प्रश्न अलग-अलग दिखते हैं: अंक, आयु, वज़न, रन, वेतन। पर अंदर से लगभग सभी एक ही नियम का प्रयोग करते हैं। हर औसत को योग में बदलने की आदत डाल लें, तो इनमें से ज़्यादातर प्रश्न एक मिनट से कम में हो जाते हैं।

योग = औसत × वस्तुओं की संख्या

समान अंतर वाली संख्याएँ

जब संख्याएँ हर बार एक ही अंतर से बढ़ती हैं, तो औसत बस बीच वाला मान होता है, या (पहली + आख़िरी) ÷ 2। 12, 15, 18, 21, 24 के लिए: (12 + 24) ÷ 2 = 18। जोड़ने की ज़रूरत नहीं।

हर संख्या को बदलना

• हर संख्या में एक ही संख्या जोड़ें (या घटाएँ), तो औसत भी उतना ही बढ़ता (या घटता) है।
• हर संख्या को एक ही संख्या से गुणा (या भाग) करें, तो औसत भी उसी से गुणा (या भाग) हो जाता है।

अगर पाँच संख्याओं का औसत 30 है और हर एक को 4 बढ़ाया जाए, तो नया औसत 34 है। योग निकालने की ज़रूरत नहीं।

जब समूह बदलता है

किसी के जुड़ने का एक झटपट शॉर्टकट: नए व्यक्ति का मान = नया औसत + (पहले के लोगों की संख्या × औसत में वृद्धि)। अगर 30 विद्यार्थियों की औसत आयु 14 वर्ष है और शिक्षक के जुड़ने पर यह 15 हो जाती है, तो शिक्षक की आयु 15 + 30 × 1 = 45 वर्ष है।

हल किए हुए उदाहरण

उदाहरण 1. पहली 10 सम संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।

1. संख्याएँ हैं 2, 4, … 20।
2. औसत = (2 + 20) ÷ 2 = 11, जो n + 1 वाले नियम से मेल खाता है।

उदाहरण 2. सेक्शन A में 30 विद्यार्थी हैं जिनके औसत अंक 60 हैं। सेक्शन B में 20 विद्यार्थी हैं जिनके औसत अंक 70 हैं। सभी 50 का औसत ज्ञात कीजिए।

1. योग: 30 × 60 = 1,800 और 20 × 70 = 1,400।
2. संयुक्त योग = 3,200।
3. औसत = 3,200 ÷ 50 = 64।
4. ध्यान दें कि यह 65 नहीं है, जो 60 और 70 का सीधा बीच का मान है, क्योंकि सेक्शन A बड़ा है।

उदाहरण 3. 30 विद्यार्थियों की औसत आयु 14 वर्ष है। शिक्षक की आयु जोड़ने पर औसत 15 वर्ष हो जाता है। शिक्षक की आयु ज्ञात कीजिए।

1. पुराना योग = 30 × 14 = 420।
2. नया योग = 31 × 15 = 465।
3. शिक्षक = 465 − 420 = 45 वर्ष।

उदाहरण 4. 8 व्यक्तियों का औसत वज़न 2.5 किग्रा बढ़ जाता है, जब 65 किग्रा वज़न वाले एक व्यक्ति की जगह एक नया व्यक्ति आता है। नए व्यक्ति का वज़न ज्ञात कीजिए।

1. योग 8 × 2.5 = 20 किग्रा बढ़ता है।
2. नए व्यक्ति का वज़न 65 + 20 = 85 किग्रा है।

उदाहरण 5. 20 संख्याओं का औसत 45 निकाला गया। बाद में पता चला कि 64 को 46 लिख दिया गया था। सही औसत ज्ञात कीजिए।

1. पुराना योग = 20 × 45 = 900।
2. सही योग = 900 − 46 + 64 = 918।
3. सही औसत = 918 ÷ 20 = 45.9।

उदाहरण 6. 10 पारियों के बाद एक बल्लेबाज़ का औसत 40 है। वे 11वीं पारी में 62 रन बनाते हैं। नया औसत ज्ञात कीजिए।

1. 10 पारियों के बाद योग = 400।
2. 11 पारियों के बाद योग = 462।
3. नया औसत = 462 ÷ 11 = 42।
4. शॉर्टकट: 40 + (62 − 40) ÷ 11 = 40 + 2 = 42।

आम गलतियाँ

अभ्यास सेट

1. 7, 14, 21, 28 और 35 का औसत ज्ञात कीजिए।
2. पहली 20 प्राकृत संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।
3. 5 संख्याओं का औसत 30 है। हर संख्या को 4 बढ़ाया जाता है। नया औसत ज्ञात कीजिए।
4. 25 विद्यार्थियों की औसत आयु 12 वर्ष है। शिक्षक को शामिल करने पर यह 13 वर्ष हो जाती है। शिक्षक की आयु ज्ञात कीजिए।
5. 10 व्यक्तियों का औसत वज़न 1.5 किग्रा बढ़ जाता है, जब 58 किग्रा वज़न वाले एक व्यक्ति को बदला जाता है। नए व्यक्ति का वज़न ज्ञात कीजिए।
6. समूह A में 20 सदस्य हैं जिनका औसत 50 है; समूह B में 30 सदस्य हैं जिनका औसत 60 है। संयुक्त औसत ज्ञात कीजिए।
7. तीन क्रमागत सम संख्याओं का औसत 24 है। सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
8. 8 पारियों के बाद एक बल्लेबाज़ का औसत 32 रन है। औसत को 35 तक ले जाने के लिए 9वीं पारी में कितने रन चाहिए?

उत्तर:

1. समान अंतर: (7 + 35) ÷ 2 = 21।
2. (20 + 1) ÷ 2 = 10.5।
3. 30 + 4 = 34।
4. 26 × 13 − 25 × 12 = 338 − 300 = 38 वर्ष।
5. 58 + 10 × 1.5 = 73 किग्रा।
6. (1,000 + 1,800) ÷ 50 = 56।
7. बीच वाली संख्या 24 है, इसलिए संख्याएँ 22, 24, 26 हैं। सबसे बड़ी: 26।
8. ज़रूरी योग 9 × 35 = 315; अभी का योग 8 × 32 = 256; ज़रूरी रन = 59।

आगे क्या करें

• "समूह बदलने" वाले पाँचों नियम बिना देखे दोबारा लिखें।
• औसत के 15 प्रश्न केवल योग वाली विधि से हल करें, फिर शॉर्टकट आज़माएँ।
• औसत का प्रयोग अनुपात और आयु में करें, जहाँ यही योग वाली विधि आती है।
• औसत और प्रतिशत मिले-जुले प्रश्नों के लिए प्रतिशत दोहराएँ।