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अनुपात (ratio) एक ही तरह की दो राशियों की तुलना करता है। अगर किसी कक्षा में 20 लड़के और 30 लड़कियाँ हैं, तो लड़कों और लड़कियों का अनुपात 20 : 30 है, जो सरल होकर 2 : 3 बनता है। हर 2 लड़कों पर 3 लड़कियाँ हैं।
अनुपात को जल्दी पक्का कर लेना चाहिए, क्योंकि कई दूसरे अध्याय इस पर टिके हैं: आयु, साझेदारी, मिश्रण, और समय और कार्य में मज़दूरी का बँटवारा। अनुपात का लगभग हर प्रश्न एक ही विचार से हल होता है: एक भाग का मान। उसे निकाल लें, बाकी सब गुणा है।
पहले ये नियम जानें
- क्रम मायने रखता है। लड़के : लड़कियाँ = 2 : 3, लड़कियाँ : लड़के के बराबर नहीं है, जो 3 : 2 है।
- इकाई एक जैसी हो। 50 पैसे : ₹2 को 50 पैसे : 200 पैसे = 1 : 4 बनाना होगा।
- अनुपात वास्तविक राशि नहीं है। 2 : 3 का अर्थ 2 और 3 हो सकता है, या 20 और 30, या 200 और 300।
अनुपात को सरल करना
दोनों पदों को उनके HCF से भाग दें: 45 : 60 → 15 से भाग → 3 : 4।
अगर पद भिन्न हों, तो हर पद को हरों के LCM से गुणा करें। 1/2 : 1/3 के लिए 6 से गुणा करें, तो 3 : 2 मिलता है।
किसी राशि को अनुपात में बाँटना
- कुल भाग पाने के लिए अनुपात के पदों को जोड़ें।
- एक भाग पाने के लिए राशि को कुल भागों से भाग दें।
- एक भाग को हर पद से गुणा करें।
अगर योग के बजाय अंतर दिया हो, तो पदों को जोड़ने के बजाय घटाएँ। बाकी तरीका वही है।
दो अनुपातों को मिलाना
अगर A : B और B : C दिए हों, तो B वाले पद बराबर करें। हर अनुपात को इस तरह गुणा करें कि B उसके दोनों मानों का LCM बन जाए।
समानुपात
चार संख्याएँ a, b, c, d समानुपात (proportion) में होती हैं (लिखते हैं a : b :: c : d) जब a/b = c/d हो। मुख्य गुण है:
बाहरी पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल, यानी a × d = b × c।
| पद | अर्थ | उदाहरण |
|---|---|---|
| a, b, c का चतुर्थानुपाती (fourth proportional) | x ऐसा कि a : b = c : x | 4, 6, 10 → x = 6 × 10 ÷ 4 = 15 |
| a और b का मध्यानुपाती (mean proportional) | x ऐसा कि a : x = x : b, इसलिए x = √(ab) | 4 और 9 → √36 = 6 |
| a और b का तृतीयानुपाती (third proportional) | x ऐसा कि a : b = b : x, इसलिए x = b² ÷ a | 4 और 6 → 36 ÷ 4 = 9 |
प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम समानुपात
| प्रकार | क्या होता है | उदाहरण | तरीका |
|---|---|---|---|
| प्रत्यक्ष (direct) | दोनों साथ-साथ बढ़ते हैं | ज़्यादा पेन, ज़्यादा दाम | एक का दाम निकालें, फिर गुणा करें |
| व्युत्क्रम (inverse) | एक बढ़ता है, दूसरा घटता है | ज़्यादा मज़दूर, कम दिन | गुणनफल वही रहता है |
अगर 5 पेन ₹40 के हैं, तो एक पेन ₹8 का है और 8 पेन ₹64 के। अगर 6 मज़दूर 10 दिन लेते हैं, तो 12 मज़दूर 6 × 10 ÷ 12 = 5 दिन लेंगे।
हल किए हुए उदाहरण
उदाहरण 1. 1/2 : 2/3 : 3/4 को सरल कीजिए।
- 2, 3 और 4 का LCM 12 है।
- हर पद को 12 से गुणा करें: 6 : 8 : 9।
- उत्तर: 6 : 8 : 9।
उदाहरण 2. ₹3,600 को A, B और C में 2 : 3 : 4 के अनुपात में बाँटिए।
- कुल भाग = 2 + 3 + 4 = 9।
- एक भाग = 3,600 ÷ 9 = ₹400।
- हिस्से: ₹800, ₹1,200 और ₹1,600। जाँच: इनका योग ₹3,600 है।
उदाहरण 3. दो संख्याएँ 5 : 8 के अनुपात में हैं, और उनका अंतर 36 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
- भागों का अंतर = 8 − 5 = 3।
- 3 भाग = 36, इसलिए एक भाग = 12।
- संख्याएँ: 5 × 12 = 60 और 8 × 12 = 96।
उदाहरण 4. अगर A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5 है, तो A : B : C ज्ञात कीजिए।
- पहले अनुपात में B = 3 है और दूसरे में 4। 3 और 4 का LCM 12 है।
- पहले अनुपात को 4 से गुणा करें: A : B = 8 : 12।
- दूसरे को 3 से गुणा करें: B : C = 12 : 15।
- इसलिए A : B : C = 8 : 12 : 15।
उदाहरण 5. दो संख्याएँ 3 : 5 के अनुपात में हैं। अगर हर एक में 10 जोड़ दिया जाए, तो अनुपात 5 : 7 हो जाता है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
- संख्याएँ 3x और 5x मान लें।
- (3x + 10) ÷ (5x + 10) = 5/7।
- तिरछा गुणा करें: 7(3x + 10) = 5(5x + 10), इसलिए 21x + 70 = 25x + 50।
- 4x = 20, इसलिए x = 5। संख्याएँ: 15 और 25।
- जाँच: 25 : 35 = 5 : 7।
उदाहरण 6. एक थैले में ₹1, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के संख्या में 1 : 2 : 4 के अनुपात में हैं। कुल मूल्य ₹60 है। हर तरह के कितने सिक्के हैं?
- सिक्कों की संख्या x, 2x और 4x मान लें।
- रुपयों में मूल्य: 1 × x + 0.5 × 2x + 0.25 × 4x = x + x + x = 3x।
- 3x = 60, इसलिए x = 20।
- सिक्के: 1 रुपये के 20, 50 पैसे के 40 और 25 पैसे के 80।
आम गलतियाँ
| गलती | सही तरीका |
|---|---|
| ₹1 और 50 पैसे की तुलना 1 : 50 लिखना | इकाई एक जैसी: 100 : 50 = 2 : 1 |
| अनुपात का क्रम उलट देना | प्रश्न में दिया क्रम ही रखें |
| B बराबर किए बिना A : B और B : C मिलाना | पहले दोनों में B एक जैसा करें |
| सिक्कों का मूल्य लेने के बजाय उन्हें गिनना | हर तरह के सिक्के को रुपये के मूल्य में बदलें |
| व्युत्क्रम स्थिति को प्रत्यक्ष मान लेना | ज़्यादा मज़दूर का अर्थ है कम दिन |
अभ्यास सेट
- 72 : 96 को सरल कीजिए।
- ₹2,400 को 3 : 5 के अनुपात में बाँटिए।
- एक विद्यालय में लड़कों और लड़कियों का अनुपात 7 : 5 है। कुल 480 विद्यार्थी हैं। लड़के कितने हैं?
- दो संख्याएँ 4 : 7 के अनुपात में हैं और उनका योग 132 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
- अगर A : B = 3 : 4 और B : C = 6 : 7 है, तो A : B : C ज्ञात कीजिए।
- 3, 5 और 12 का चतुर्थानुपाती ज्ञात कीजिए।
- 9 और 16 का मध्यानुपाती ज्ञात कीजिए।
- दो संख्याएँ 2 : 3 के अनुपात में हैं। अगर हर एक में 5 जोड़ दिया जाए, तो अनुपात 3 : 4 हो जाता है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
- HCF 24: 3 : 4।
- 8 भाग, एक भाग ₹300: ₹900 और ₹1,500।
- 12 भाग, एक भाग 40: लड़के = 280।
- 11 भाग = 132, एक भाग 12: 48 और 84।
- 4 और 6 का LCM 12 है: A : B = 9 : 12, B : C = 12 : 14, इसलिए 9 : 12 : 14।
- 3 : 5 = 12 : x, इसलिए x = 5 × 12 ÷ 3 = 20।
- √(9 × 16) = √144 = 12।
- (2x + 5) ÷ (3x + 5) = 3/4 से 8x + 20 = 9x + 15 मिलता है, इसलिए x = 5: 10 और 15। जाँच: 15 : 20 = 3 : 4।
आगे क्या करें
- "राशि बाँटना" वाले 10 प्रश्न तब तक हल करें जब तक हर एक 30 सेकंड से कम में न होने लगे।
- एक हफ़्ते तक रोज़ अनुपात मिलाने वाले पाँच प्रश्न हल करें।
- अनुपात का प्रयोग आयु और मिश्रण और साझेदारी में करें।
- प्रतिशत दोहराएँ: 1 : 4 अनुपात का अर्थ है कि पहली राशि दूसरी का 25% है।
तारीख़ों और आँकड़ों पर एक बात। परीक्षा का पैटर्न, रिक्तियाँ और कार्यक्रम हर साल बदल सकते हैं। ताज़ा जानकारी हमेशा Staff Selection Commission की वेबसाइट पर जारी नवीनतम अधिसूचना में देखें।
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