SSC GD के लिए भिन्न और दशमलव

भिन्न (fractions) और दशमलव (decimals) शायद ही पूरा प्रश्न होते हैं, पर लगभग हर प्रश्न का हिस्सा होते हैं। प्रतिशत 100 में से एक भिन्न है। अनुपात एक भिन्न है। छूट, वेतन का हिस्सा या टंकी का भाग, सब भिन्न हैं। अगर आप इन्हें धीरे-धीरे हल करते हैं, तो हर टॉपिक धीमा लगता है।

अच्छी बात यह है कि नियम कम और तय हैं। इन्हें सीखें, रूपांतरण की तालिका रट लें, और एक हफ़्ता अभ्यास करें।

भिन्नों के प्रकार

मिश्र से अनुचित: पूर्ण संख्या को हर से गुणा करें और अंश जोड़ें। 1¾ = (1 × 4 + 3)/4 = 7/4।

अनुचित से मिश्र: भाग दें। 17/5 = 3 शेष 2, इसलिए 3⅖।

सरल करना: अंश और हर दोनों को उनके HCF से भाग दें। 18/24: HCF 6 है, इसलिए 3/4।

जोड़ना और घटाना

LCM की मदद से हर एक जैसे करें, फिर अंश जोड़ें या घटाएँ। हमारी LCM और HCF वाली गाइड में LCM जल्दी निकालना बताया गया है।

1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12।

मिश्र भिन्नों में पूर्ण भाग और भिन्न वाले भाग अलग-अलग जोड़ें, फिर दोनों को मिलाएँ।

गुणा और भाग

• गुणा: अंश को अंश से, हर को हर से गुणा करें। संख्याएँ छोटी रखने के लिए पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड काट दें।
• भाग: दूसरी भिन्न को उलटकर गुणा करें। 4/5 ÷ 2/5 = 4/5 × 5/2 = 2।
• गुणा या भाग से पहले मिश्र भिन्नों को हमेशा अनुचित भिन्न में बदल लें।

तुलना और क्रम

तीन तरीके हैं। सामने दी संख्याओं के लिए जो सबसे जल्दी हो, वही अपनाएँ।

1. तिरछा गुणा (cross-multiply) (दो भिन्नों के लिए)। 3/5 और 4/7 के लिए: 3 × 7 = 21 और 4 × 5 = 20। चूँकि 21 > 20, इसलिए 3/5 बड़ी है।
2. दशमलव में बदलें (तीन या अधिक भिन्नों के लिए)। अगर नीचे की तालिका याद है, तो यह आम तौर पर सबसे तेज़ है।
3. समान अंश: अगर अंश बराबर हों, तो जिसका हर छोटा है, वह भिन्न बड़ी है। 3/7 > 3/8।

रूपांतरण की तालिका

दशमलव

• जोड़ना और घटाना: दशमलव बिंदुओं को एक सीध में रखें। 2.5 + 1.25 = 3.75।
• गुणा: पूर्ण संख्याओं की तरह गुणा करें, फिर प्रश्न में दशमलव के बाद के कुल अंक गिनें। 0.3 × 0.2: 3 × 2 = 6, दो अंक, इसलिए 0.06।
• भाग: दोनों संख्याओं में दशमलव बिंदु तब तक खिसकाएँ जब तक भाजक पूर्ण संख्या न बन जाए। 1.2 ÷ 0.4 = 12 ÷ 4 = 3।

आवर्ती दशमलव (recurring decimals)। जब एक अंक दोहराता है, तो उसे 9 पर रखें: 0.777… = 7/9। जब दो अंक दोहराते हैं, तो उन्हें 99 पर रखें: 0.3636… = 36/99 = 4/11।

हल किए हुए उदाहरण

उदाहरण 1. 2/3 + 3/4 − 5/6 = ?

1. 3, 4 और 6 का LCM 12 है।
2. 8/12 + 9/12 − 10/12 = 7/12।

उदाहरण 2. 3⅓ × 1⅘ = ?

1. अनुचित भिन्न: 10/3 × 9/5।
2. काटें: 10 और 5 से 2 और 1; 9 और 3 से 3 और 1।
3. 2 × 3 = 6।

उदाहरण 3. 2⅔ ÷ 1⅓ = ?

1. अनुचित भिन्न: 8/3 ÷ 4/3।
2. उलटकर गुणा करें: 8/3 × 3/4 = 24/12 = 2।

उदाहरण 4. 3/5, 2/3 और 5/8 को आरोही क्रम (ascending order) में लगाइए।

1. दशमलव: 3/5 = 0.6, 2/3 ≈ 0.667, 5/8 = 0.625।
2. क्रम: 3/5 < 5/8 < 2/3।

उदाहरण 5. 0.25 × 0.4 ÷ 0.05 = ?

1. बाएँ से दाएँ: 0.25 × 0.4 = 0.1।
2. 0.1 ÷ 0.05 = 10 ÷ 5 = 2।

उदाहरण 6. एक अभ्यर्थी अपनी मासिक आय का 1/4 किराए पर और 1/3 भोजन पर ख़र्च करते हैं, और बचे हुए ₹5,000 बचाते हैं। आय ज्ञात कीजिए।

1. ख़र्च: 1/4 + 1/3 = 3/12 + 4/12 = 7/12।
2. बचा हुआ: 1 − 7/12 = आय का 5/12 = ₹5,000।
3. 1/12 = ₹1,000, इसलिए आय = ₹12,000।
4. जाँच: किराया ₹3,000, भोजन ₹4,000, बचत ₹5,000।

आम गलतियाँ

अभ्यास सेट

1. 3⅖ को अनुचित भिन्न में बदलिए।
2. 42/56 को सरल कीजिए।
3. 3/4 + 5/6 − 1/3
4. 2½ × 1⅗
5. 3¾ ÷ 1¼
6. सबसे बड़ी कौन-सी है: 4/7, 5/9 या 3/5?
7. 0.6 ÷ 0.015
8. एक टंकी 2/3 भरी है। 30 लीटर इस्तेमाल होने के बाद वह 1/4 भरी रह जाती है। टंकी की क्षमता ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. 3 × 5 + 2 = 17, इसलिए 17/5।
2. HCF 14: 3/4।
3. 9/12 + 10/12 − 4/12 = 15/12 = 5/4, यानी 1¼।
4. 5/2 × 8/5 = 40/10 = 4।
5. 15/4 × 4/5 = 3।
6. 0.571, 0.556 और 0.6, इसलिए 3/5।
7. 600 ÷ 15 = 40।
8. 2/3 − 1/4 = 8/12 − 3/12 = टंकी का 5/12 = 30 लीटर। 1/12 = 6 लीटर, इसलिए क्षमता = 72 लीटर।

आगे क्या करें

• रूपांतरण की तालिका तब तक याद करें जब तक उसे बिना देखे भर न सकें।
• एक हफ़्ते तक रोज़ भिन्न वाली 15 पंक्तियाँ हल करें।
• इन कौशलों का प्रयोग सरलीकरण में करें, फिर प्रतिशत पर जाएँ।