RRB Group D के लिए औसत

औसत (average) = योग ÷ वस्तुओं की संख्या। इसे उलट दें, तो वह सूत्र मिलता है जो औसत का लगभग हर प्रश्न हल कर देता है:

• योग = औसत × संख्या।

कहानी कुछ भी हो (कोई नया कर्मचारी जुड़ता है, कोई बल्लेबाज़ एक और पारी खेलता है, कोई अंक गलत लिखा गया), हर औसत को योग में बदलें, बदलाव योगों पर करें, और अंत में भाग दें। जो अभ्यर्थी सीधे औसतों से काम करने की कोशिश करते हैं, वे उलझ जाते हैं। जो योगों से काम करते हैं, वे शायद ही कभी उलझते हैं।

याद रखने लायक तेज़ तथ्य

प्रश्नों के मुख्य प्रकार

1. कोई जुड़ता है या हटता है

पुराना योग और नया योग निकालें। दोनों का अंतर ही वह व्यक्ति है जो जुड़ा या हटा।

2. गलत प्रविष्टि

योग (सही मान − गलत मान) जितना बदल जाता है। इसलिए औसत उस अंतर ÷ वस्तुओं की संख्या जितना बदलता है।

3. प्रतिस्थापन (replacement)

एक व्यक्ति हटता है और उसकी जगह दूसरा आता है, इसलिए समूह का आकार वही रहता है। अगर n लोगों का औसत d बदलता है:

• नया व्यक्ति = पुराना व्यक्ति + (n × d)

औसत घटे, तो ऋण चिह्न लगाएँ।

4. दो समूहों को मिलाना

दो औसतों का सीधा औसत तभी ले सकते हैं जब दोनों समूह बराबर आकार के हों। वरना योगों को मिलाएँ:

• संयुक्त औसत = (n₁ × a₁ + n₂ × a₂) ÷ (n₁ + n₂)

उत्तर हमेशा दोनों औसतों के बीच होता है, और बड़े समूह के औसत के ज़्यादा पास।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: 4 संख्याओं का औसत 25 है। पाँचवीं संख्या जोड़ने पर औसत 28 हो जाता है। पाँचवीं संख्या ज्ञात करें।

• पुराना योग = 4 × 25 = 100। नया योग = 5 × 28 = 140।
• पाँचवीं संख्या = 140 − 100 = 40।

उदाहरण 2: 20 कर्मचारियों की औसत आयु 30 वर्ष है। पर्यवेक्षक को शामिल करने पर औसत 31 हो जाता है। पर्यवेक्षक की आयु कितनी है?

• 21 का योग = 21 × 31 = 651। 20 का योग = 600।
• पर्यवेक्षक = 51 वर्ष।
• शॉर्टकट: पर्यवेक्षक की आयु 30 + 21 × 1 = 51 है। वे समूह का 30 लाते हैं, और साथ में 21 लोगों में से हर एक के लिए एक अतिरिक्त वर्ष।

उदाहरण 3: एक विद्यार्थी का 5 विषयों में औसत 72 है। एक अंक 85 की जगह गलती से 58 लिखा गया। सही औसत कितना है?

• योग 85 − 58 = 27 बढ़ जाता है।
• औसत 27 ÷ 5 = 5.4 बढ़ जाता है।
• सही औसत = 77.4।

उदाहरण 4: 65 किग्रा भार वाले एक व्यक्ति की जगह एक नया व्यक्ति आने पर 8 लोगों का औसत भार 2.5 किग्रा बढ़ जाता है। नए व्यक्ति का भार कितना है?

• नया व्यक्ति = 65 + 8 × 2.5 = 65 + 20 = 85 किग्रा।

उदाहरण 5: सेक्शन A में 30 विद्यार्थी हैं जिनका औसत 60 अंक है। सेक्शन B में 20 विद्यार्थी हैं जिनका औसत 70 है। सभी 50 विद्यार्थियों का औसत ज्ञात करें।

• योग: 30 × 60 = 1,800 और 20 × 70 = 1,400।
• संयुक्त = 3,200 ÷ 50 = 64।
• 65 नहीं। बड़ा सेक्शन औसत को 60 की ओर खींचता है।

उदाहरण 6: 10 पारियों के बाद एक बल्लेबाज़ का औसत 40 रन है। औसत 42 करने के लिए बल्लेबाज़ को 11वीं पारी में कितने रन बनाने होंगे?

• 11 पारियों के बाद आवश्यक योग = 11 × 42 = 462। अभी का योग = 400।
• आवश्यक रन = 62।

आम गलतियाँ

• जब समूह अलग-अलग आकार के हों, तब दो औसतों का सीधा औसत ले लेना।
• यह भूल जाना कि किसी के जुड़ने या हटने पर समूह का आकार बदल जाता है।
• प्रतिस्थापन वाले प्रश्नों में n × d की जगह d जोड़ देना।
• गलत प्रविष्टि का सुधार गलत संख्या से भाग देना।
• जो संख्याएँ 1 से शुरू नहीं होतीं, उन पर "पहली n प्राकृत संख्याओं" वाला सूत्र लगाना।

अभ्यास सेट

1. 10, 20, 30 और 40 का औसत ज्ञात करें।
2. 5 संख्याओं का औसत 40 है। एक संख्या हटाने पर औसत 38 हो जाता है। हटाई गई संख्या ज्ञात करें।
3. पहली 9 प्राकृत संख्याओं का औसत ज्ञात करें।
4. 3 संख्याओं का औसत 50 है। उनमें से दो 40 और 65 हैं। तीसरी संख्या ज्ञात करें।
5. 50 किग्रा भार वाले एक व्यक्ति की जगह नया व्यक्ति आने पर 10 लोगों का औसत भार 2 किग्रा बढ़ जाता है। नए व्यक्ति का भार कितना है?
6. 5 क्रमागत विषम संख्याओं का औसत 27 है। सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें।
7. 11 परिणामों का औसत 50 है। पहले 6 का औसत 49 और अंतिम 6 का औसत 52 है। छठा परिणाम ज्ञात करें।
8. पहली 10 सम संख्याओं का औसत ज्ञात करें।

उत्तर:

1. 25। बराबर अंतर वाली संख्याएँ: (10 + 40) ÷ 2।
2. 48। 5 × 40 = 200; 4 × 38 = 152; 200 − 152 = 48।
3. 5। (9 + 1) ÷ 2।
4. 45। योग 150; 150 − 40 − 65 = 45।
5. 70 किग्रा। 50 + 10 × 2 = 70।
6. 31। बीच की संख्या 27 है, इसलिए संख्याएँ 23, 25, 27, 29, 31 हैं।
7. 56। छठा परिणाम दोनों समूहों में गिना गया है: 6 × 49 + 6 × 52 − 11 × 50 = 294 + 312 − 550 = 56।
8. 11। 2 से 20 का औसत (2 + 20) ÷ 2 = 11 है, जो n + 1 है।

आगे क्या करें

• अपने औसत वाले पन्ने के ऊपर "योग = औसत × संख्या" लिखें, और हर प्रश्न में इसका इस्तेमाल करें।
• प्रतिस्थापन के पाँच और संयुक्त समूह के पाँच प्रश्नों का अभ्यास करें।
• "एक-दूसरे पर चढ़े समूह" वाले प्रकार (अभ्यास प्रश्न 7) को तब तक हल करें जब तक बिना मदद के सेट न कर सकें।
• आयु के प्रश्नों पर जाएँ, जहाँ औसत के प्रश्न अक्सर फिर आते हैं, और अनुपात दोहराएँ।