RRB Group D के लिए दशमलव और भिन्न

भिन्न (fraction) और दशमलव (decimal) एक ही संख्या को लिखने के दो तरीके हैं। 3/4 और 0.75 बिल्कुल एक जैसे हैं; बस कपड़े अलग हैं। इन पर प्रश्न शायद ही कभी कठिन होते हैं, पर जल्दबाज़ी में गलती आसानी से हो जाती है। जो अभ्यर्थी एक सेकंड में एक रूप से दूसरे रूप में बदल लेते हैं और दशमलव का कोई स्थान नहीं खोते, वे हर प्रश्न एक मिनट से कम में हल कर लेते हैं।

ये दूसरे टॉपिक के अंदर भी आते हैं। प्रतिशत, लाभ और हानि, अनुपात और सरलीकरण, सब भिन्नों पर टिके हैं। इसलिए यहाँ लगाया गया समय पूरे गणित खंड में काम आता है।

भिन्नों के प्रकार

मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में बदलने के लिए पूर्ण संख्या को हर से गुणा करें और अंश जोड़ दें: 2 1/4 = (2 × 4 + 1)/4 = 9/4।

भिन्नों पर संक्रियाएँ

मिश्रित भिन्नों में पूर्ण संख्याओं और भिन्नों को अलग-अलग जोड़ें। इससे संख्याएँ छोटी रहती हैं। अगर LCM जल्दी निकालना हो, तो हमारी LCM और HCF वाली गाइड देखें।

भिन्न और दशमलव के बीच बदलना

भिन्न से दशमलव: अंश को हर से भाग दें। 7/8 = 7 ÷ 8 = 0.875।

दशमलव से भिन्न: अंकों को 1 के ऊपर लिखें, जिसके बाद उतने शून्य हों जितने दशमलव स्थान हैं, फिर छोटा करें। 0.375 = 375/1000 = 3/8।

ये जोड़े याद कर लें। ये किसी भी ट्रिक से ज़्यादा समय बचाते हैं:

आवर्ती दशमलव

कुछ भिन्न कभी खत्म नहीं होते: 1/3 = 0.333… इन्हें आवर्ती दशमलव (recurring decimal) कहते हैं। किताबों में दोहराने वाले भाग पर एक रेखा (बार) लगाई जाती है; यहाँ हम उसे बिंदुओं से दिखा रहे हैं।

• शुद्ध आवर्ती (pure recurring) (दोहराव दशमलव बिंदु के ठीक बाद शुरू होता है): दोहराने वाले अंकों को उतने ही 9 के ऊपर लिखें। 0.777… = 7/9। 0.4545… = 45/99 = 5/11।
• मिश्रित आवर्ती (mixed recurring) (दोहराव शुरू होने से पहले कुछ अंक हैं): सभी अंकों में से न दोहराने वाले अंक घटाएँ, और उसे इस संख्या के ऊपर लिखें: जितने दोहराने वाले अंक हैं उतने 9, उसके बाद जितने न दोहराने वाले अंक हैं उतने 0। 0.1666… = (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6।

भिन्नों की तुलना

तीन तरीके हैं, जो सबसे तेज़ हो वह चुनें:

1. दशमलव में बदलें। तब अच्छा है जब दशमलव आपको पहले से याद हों।
2. दो-दो करके वज्र गुणन (cross-multiplication) करें। 4/7 और 5/9 के लिए: 4 × 9 = 36 और 5 × 7 = 35। क्योंकि 36 बड़ा है, इसलिए 4/7 बड़ा है।
3. अंश या हर एक जैसा हो। हर एक जैसा हो, तो बड़े अंश वाला भिन्न बड़ा। अंश एक जैसा हो, तो छोटे हर वाला भिन्न बड़ा: 3/7, 3/8 से बड़ा है।

दशमलव की संक्रियाएँ

• जोड़ना या घटाना: दशमलव बिंदुओं को एक सीध में रखें। 4.5 + 0.35 = 4.85।
• गुणा करना: पूर्ण संख्याओं की तरह गुणा करें, फिर दोनों संख्याओं के दशमलव स्थान मिलाकर गिनें। 0.4 × 0.05: 4 × 5 = 20; स्थान 1 + 2 = 3, इसलिए 0.020 = 0.02।
• भाग देना: दोनों संख्याओं में दशमलव बिंदु को बराबर स्थान खिसकाएँ, जब तक भाजक पूर्ण संख्या न बन जाए। 0.36 ÷ 0.012 = 360 ÷ 12 = 30।
• 10, 100, 1,000 से गुणा या भाग: बस बिंदु को दाएँ या बाएँ खिसकाएँ।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: सबसे बड़ा कौन है: 3/5, 5/8 या 7/12?

• 3/5 = 0.6; 5/8 = 0.625; 7/12 ≈ 0.583।
• सबसे बड़ा: 5/8।

उदाहरण 2: 0.25 + 0.5 × 0.2

• BODMAS: पहले गुणा। 0.5 × 0.2 = 0.1।
• 0.25 + 0.1 = 0.35।

उदाहरण 3: 2 3/4 + 1 5/6 − 1 1/3

• पूर्ण संख्याएँ: 2 + 1 − 1 = 2।
• भिन्न, LCM 12: 9/12 + 10/12 − 4/12 = 15/12 = 1 1/4।
• कुल: 2 + 1 1/4 = 3 1/4।

उदाहरण 4: 0.2727… को भिन्न में लिखें।

• शुद्ध आवर्ती, दो दोहराने वाले अंक: 27/99।
• 9 से छोटा करें: 3/11।

उदाहरण 5: 0.36 ÷ 0.012

• दोनों में बिंदु को तीन स्थान खिसकाएँ: 360 ÷ 12 = 30।

उदाहरण 6: एक कर्मचारी के मासिक वेतन का 1/4 किराए पर और बची हुई राशि का 2/5 भोजन पर खर्च होता है। ₹9,000 बचते हैं। मासिक वेतन कितना है?

• किराए के बाद वेतन का 3/4 बचता है।
• भोजन = 3/4 का 2/5 = वेतन का 3/10।
• बचा = 3/4 − 3/10 = 15/20 − 6/20 = वेतन का 9/20।
• वेतन का 9/20 = 9,000, इसलिए वेतन = 9,000 × 20 ÷ 9 = ₹20,000।

आम गलतियाँ

• अंश को अंश से और हर को हर से जोड़कर भिन्न जोड़ना: 1/2 + 1/3 = 5/6 होता है, 2/5 नहीं।
• दशमलवों का गुणा करते समय एक दशमलव स्थान खो देना।
• दशमलव वाले मिश्रित व्यंजकों में BODMAS भूल जाना।
• 0.1666… को 16/99 मान लेना। यह मिश्रित आवर्ती है, इसलिए उत्तर 1/6 है।
• जब प्रश्न "बाकी का" कहे, तब पूरे का भिन्न ले लेना।

अभ्यास सेट

1. 1/2 + 1/3
2. 0.4 × 0.05
3. 0.375 को भिन्न में लिखें।
4. सबसे बड़ा कौन है: 2/3, 3/5 या 5/9?
5. 5/6 − 1/4
6. 1.44 ÷ 0.12
7. 0.1333… को भिन्न में लिखें।
8. 480 के 3/4 का 2/3 ज्ञात करें।

उत्तर:

1. 5/6। LCM 6: 3/6 + 2/6।
2. 0.02। 4 × 5 = 20, तीन दशमलव स्थान।
3. 3/8। 375/1000 को 125 से छोटा करें।
4. 2/3। 2/3 ≈ 0.667, 3/5 = 0.6, 5/9 ≈ 0.556।
5. 7/12। LCM 12: 10/12 − 3/12।
6. 12। 144 ÷ 12।
7. 2/15। मिश्रित आवर्ती: (13 − 1)/90 = 12/90 = 2/15।
8. 240। 480 का 3/4 = 360; 360 का 2/3 = 240।

आगे क्या करें

• भिन्न–दशमलव वाली तालिका इतनी याद करें कि दोनों तरफ़ से बोल सकें।
• वज्र गुणन से दस तुलनाएँ करें, और समय नापें।
• पाँच शुद्ध और पाँच मिश्रित आवर्ती दशमलवों को भिन्न में बदलें, फिर भाग देकर जाँचें।
• BODMAS दोहराएँ, फिर प्रतिशत पर जाएँ, जिसमें ये भिन्न लगातार काम आते हैं।