RRB Group D के लिए LCM और HCF (लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक)

LCM और HCF के प्रश्न RRB Group D के गणित खंड के सबसे अनुमान लगाने लायक प्रश्नों में से हैं। इनके पैटर्न गिने-चुने हैं: घंटियों या धावकों का फिर से मिलना, सबसे बड़ी टाइल या सबसे लंबी रस्सी, ऐसी संख्या जो दिया हुआ शेषफल छोड़े, और दो संख्याओं का गुणनफल नियम। शब्दों से पैटर्न पहचानना सीख लें, तो हर प्रश्न दो पंक्तियों का हिसाब बन जाता है।

इन शब्दों का अर्थ

• HCF (Highest Common Factor), यानी महत्तम समापवर्तक: वह सबसे बड़ी संख्या जो दी गई सभी संख्याओं को पूरा-पूरा विभाजित करे। इसे GCD (greatest common divisor) भी कहते हैं।
• LCM (Lowest Common Multiple), यानी लघुत्तम समापवर्त्य: वह सबसे छोटी संख्या जिसे दी गई सभी संख्याएँ पूरा-पूरा विभाजित करें।

12 और 18 के लिए: साझा गुणनखंड 1, 2, 3 और 6 हैं, इसलिए HCF = 6। साझा गुणज 36, 72, 108 आदि हैं, इसलिए LCM = 36।

एक तेज़ जाँच: HCF कभी भी सबसे छोटी संख्या से बड़ा नहीं होता, और LCM कभी भी सबसे बड़ी संख्या से छोटा नहीं होता।

विधि 1: अभाज्य गुणनखंड

1. हर संख्या को अभाज्य गुणनखंडों (prime factors) में तोड़ें।
2. HCF = सभी में साझा अभाज्य संख्याएँ, हर एक अपनी सबसे छोटी घात के साथ।
3. LCM = जितनी भी अभाज्य संख्याएँ आती हैं, सब, हर एक अपनी सबसे बड़ी घात के साथ।

अगर अभाज्य गुणनखंड दोहराने हों, तो हमारी संख्या पद्धति वाली गाइड देखें।

विधि 2: बड़ी संख्याओं के HCF के लिए भाग विधि

जब संख्याएँ बड़ी हों और उनके गुणनखंड निकालना मुश्किल हो, तो बड़ी संख्या को छोटी से भाग दें, फिर पिछले भाजक को शेषफल से भाग दें, और यह तब तक करते रहें जब तक शेषफल 0 न हो जाए। अंतिम भाजक ही HCF है। इसे भाग विधि (division method) कहते हैं।

391 और 667 का HCF:

• 667 = 391 × 1 + 276
• 391 = 276 × 1 + 115
• 276 = 115 × 2 + 46
• 115 = 46 × 2 + 23
• 46 = 23 × 2 + 0

HCF 23 है। जाँच: 391 = 23 × 17 और 667 = 23 × 29।

गुणनफल नियम

केवल दो संख्याओं के लिए: HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल।

यही नियम एक बहुत आम प्रश्न के पीछे है: "दो संख्याओं का HCF 6 है, LCM 72 है, और एक संख्या 18 है। दूसरी संख्या ज्ञात करें।" उत्तर है 6 × 72 ÷ 18 = 24।

प्रश्न किसे माँग रहा है?

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: 24 और 60 का HCF और LCM ज्ञात करें।

• 24 = 2³ × 3; 60 = 2² × 3 × 5।
• HCF = 2² × 3 = 12।
• LCM = 2³ × 3 × 5 = 120।
• गुणनफल नियम से जाँच: 12 × 120 = 1,440 = 24 × 60।

उदाहरण 2: तीन धावक एक चक्कर क्रमशः 12, 15 और 20 मिनट में पूरा करते हैं। वे एक साथ शुरू करते हैं। वे अगली बार शुरुआती बिंदु पर एक साथ कब होंगे?

• 12 = 2² × 3; 15 = 3 × 5; 20 = 2² × 5।
• LCM = 2² × 3 × 5 = 60 मिनट।

उदाहरण 3: वह सबसे लंबी रस्सी कौन-सी है, जो 84 मीटर, 126 मीटर और 210 मीटर को ठीक-ठीक नाप सके?

• 84 = 2² × 3 × 7; 126 = 2 × 3² × 7; 210 = 2 × 3 × 5 × 7।
• HCF = 2 × 3 × 7 = 42 मीटर।
• जाँच: 84 ÷ 42 = 2, 126 ÷ 42 = 3, 210 ÷ 42 = 5।

उदाहरण 4: वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें, जिसे 8, 12 और 18 से भाग देने पर हर बार शेषफल 5 बचे।

• 8 = 2³; 12 = 2² × 3; 18 = 2 × 3²।
• LCM = 2³ × 3² = 72।
• शेषफल जोड़ें: 72 + 5 = 77।
• जाँच: 77 ÷ 8 = 9 शेषफल 5; 77 ÷ 12 = 6 शेषफल 5; 77 ÷ 18 = 4 शेषफल 5।

उदाहरण 5: वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें, जो 70 और 125 को भाग देने पर क्रमशः 5 और 8 शेषफल छोड़े।

• शेषफल घटाएँ: 70 − 5 = 65 और 125 − 8 = 117। संख्या को इन दोनों को पूरा-पूरा विभाजित करना चाहिए।
• 65 = 5 × 13; 117 = 3² × 13।
• HCF = 13।
• जाँच: 70 = 13 × 5 + 5 और 125 = 13 × 9 + 8।

उदाहरण 6 (भिन्न): 2/3 और 4/9 का HCF और LCM ज्ञात करें।

• भिन्नों का HCF = अंशों (numerators) का HCF ÷ हरों (denominators) का LCM = HCF(2, 4) ÷ LCM(3, 9) = 2 ÷ 9 = 2/9।
• भिन्नों का LCM = अंशों का LCM ÷ हरों का HCF = LCM(2, 4) ÷ HCF(3, 9) = 4 ÷ 3 = 4/3।

आम गलतियाँ

• "सबसे बड़ी" या "सबसे लंबी" वाले प्रश्न में LCM लगाना, या "फिर से एक साथ" वाले प्रश्न में HCF।
• तीन संख्याओं के लिए गुणनफल नियम लगाना।
• सबसे छोटी संख्या वाले प्रश्न में शेषफल जोड़ना भूल जाना।
• सबसे बड़ी संख्या वाले प्रश्न में HCF निकालने से पहले शेषफल घटाना भूल जाना।
• HCF निकालने से पहले इकाइयाँ, जैसे मीटर और सेंटीमीटर, एक जैसी न करना।

अभ्यास सेट

1. 6, 10 और 15 का LCM ज्ञात करें।
2. 36 और 90 का HCF ज्ञात करें।
3. दो संख्याओं का HCF 6 और LCM 72 है। एक संख्या 18 है। दूसरी संख्या ज्ञात करें।
4. तीन घंटियाँ हर 4, 6 और 8 मिनट पर बजती हैं। अभी वे एक साथ बजी हैं। कितने समय बाद वे फिर एक साथ बजेंगी?
5. एक फ़र्श 360 सेमी × 480 सेमी का है। उस पर ठीक-ठीक बैठने वाली सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल कौन-सी है, और कितनी टाइलें लगेंगी?
6. 12, 15 और 20 से विभाज्य चार अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें।
7. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें, जो 62 और 98 को भाग देने पर हर बार शेषफल 2 छोड़े।
8. दो संख्याएँ 3 : 4 के अनुपात में हैं और उनका HCF 5 है। उनका LCM ज्ञात करें।

उत्तर:

1. 30। 6 = 2 × 3, 10 = 2 × 5, 15 = 3 × 5; LCM = 2 × 3 × 5।
2. 18। 36 = 2² × 3², 90 = 2 × 3² × 5; HCF = 2 × 3²।
3. 24। 6 × 72 ÷ 18 = 432 ÷ 18 = 24।
4. 24 मिनट। 4, 6, 8 का LCM = 2³ × 3 = 24।
5. 120 सेमी की टाइल, 12 टाइलें। 360 और 480 का HCF 120 है; 360 ÷ 120 = 3 और 480 ÷ 120 = 4, इसलिए 3 × 4 = 12 टाइलें।
6. 1,020। 12, 15, 20 का LCM = 60। 1,000 ÷ 60 = 16 शेषफल 40, इसलिए अगला गुणज 60 × 17 = 1,020।
7. 12। शेषफल घटाएँ: 60 और 96। HCF(60, 96) = 12। जाँच: 62 = 12 × 5 + 2, 98 = 12 × 8 + 2।
8. 60। संख्याएँ 3 × 5 = 15 और 4 × 5 = 20 हैं। LCM(15, 20) = 60।

आगे क्या करें

• "प्रश्न किसे माँग रहा है?" वाली तालिका अपनी कॉपी में उतार लें।
• तीन अंकों वाली संख्याओं के दो जोड़ों पर भाग विधि का अभ्यास करें।
• पिछले वर्षों के प्रश्नपत्रों (previous-year papers) से LCM–HCF के 15 प्रश्न हल करें और हर प्रश्न पर उसका पैटर्न लिखें।
• गणित योजना में देखें कि LCM–HCF कहाँ आता है, फिर अगले टॉपिक पर जाएँ।