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अनुपात (ratio) एक ही प्रकार की दो राशियों की तुलना करता है। इसे समझने का सबसे काम का तरीका है इसे भागों में सोचना। 3 : 5 के अनुपात में एक व्यक्ति के पास 3 भाग हैं और दूसरे के पास 5 भाग, यानी कुल 8 भाग। एक भाग का मान पता चलते ही अनुपात का हर प्रश्न बस गुणा बन जाता है।
अनुपात अपने आप में भी आता है और दूसरे टॉपिक के अंदर भी: आयु, साझेदारी, मिश्रण, चाल और कार्य। अगर आप "एक भाग" जल्दी निकाल लेते हैं, तो ये सब आसान हो जाते हैं।
अनुपात की मूल बातें
- अनुपात a : b को भिन्न a/b के रूप में लिखा जा सकता है।
- दोनों पदों को एक ही संख्या से गुणा या भाग करने पर अनुपात नहीं बदलता। 12 : 18 = 2 : 3।
- तुलना से पहले दोनों राशियाँ एक ही इकाई में होनी चाहिए। 50 पैसे : ₹2 = 50 : 200 = 1 : 4 है, 50 : 2 नहीं।
- दो अनुपातों की तुलना के लिए उन्हें भिन्न के रूप में लिखें और वज्र गुणन (cross-multiplication) करें। 3 : 4 और 5 : 7: 3 × 7 = 21 और 4 × 5 = 20, इसलिए 3 : 4 बड़ा है।
किसी राशि को अनुपात में बाँटना
किसी राशि को a : b : c के अनुपात में बाँटने के लिए:
- भाग जोड़ें: a + b + c।
- एक भाग = राशि ÷ कुल भाग।
- एक भाग को हर पद से गुणा करें।
हमेशा जाँचें कि सभी हिस्से जुड़कर पूरी राशि बनाते हैं।
दो अनुपातों को जोड़ना
अगर आपको A : B और B : C पता है, तो B वाली संख्याएँ बराबर करें, फिर दोनों को जोड़ें।
A : B = 3 : 4 और B : C = 2 : 5। दूसरे अनुपात को 2 से गुणा करें ताकि B = 4 हो जाए: B : C = 4 : 10। अब A : B : C = 3 : 4 : 10।
जब B वाली संख्याएँ एक-दूसरे से विभाजित न हों, तो हर अनुपात को दूसरे अनुपात के B वाले पद से गुणा करें। यहाँ LCM और HCF वाली गाइड मदद करती है।
समानुपात और समानुपाती
चार संख्याएँ a, b, c, d समानुपात (proportion) में होती हैं जब a : b = c : d हो। तब a × d = b × c (बाहरी पदों का गुणनफल = बीच के पदों का गुणनफल)।
| पद | अर्थ | सूत्र |
|---|---|---|
| a, b, c का चतुर्थानुपाती (fourth proportional) | a : b = c : x | x = b × c ÷ a |
| a, b का तृतीयानुपाती (third proportional) | a : b = b : x | x = b² ÷ a |
| a और b का मध्यानुपाती (mean proportional) | a : x = x : b | x = √(a × b) |
कुछ और पद जो विकल्पों में आते हैं:
- a : b का वर्गानुपात (duplicate ratio) a² : b² है।
- a : b का वर्गमूलानुपात (sub-duplicate ratio) √a : √b है।
- a : b का व्युत्क्रम अनुपात (inverse ratio) b : a है।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1: ₹2,400 को 5 : 3 के अनुपात में बाँटें।
- 5 + 3 = 8 भाग; एक भाग = 2,400 ÷ 8 = 300।
- हिस्से: 5 × 300 = ₹1,500 और 3 × 300 = ₹900। जाँच: 1,500 + 900 = 2,400।
उदाहरण 2: A : B = 3 : 4 और B : C = 2 : 5। A : B : C ज्ञात करें।
- B को 4 के बराबर करें: B : C = 4 : 10।
- A : B : C = 3 : 4 : 10।
उदाहरण 3: 3, 5 और 12 का चतुर्थानुपाती ज्ञात करें।
- 5 × 12 ÷ 3 = 20। जाँच: 3 : 5 = 12 : 20, क्योंकि 3 × 20 = 5 × 12 = 60।
उदाहरण 4: 4 और 9 का मध्यानुपाती ज्ञात करें।
- √(4 × 9) = √36 = 6। जाँच: 4 : 6 = 6 : 9।
उदाहरण 5: 5 और 9 दोनों में कौन-सी संख्या जोड़ी जाए कि अनुपात 3 : 4 हो जाए?
- (5 + x) ÷ (9 + x) = 3 ÷ 4।
- 4(5 + x) = 3(9 + x), इसलिए 20 + 4x = 27 + 3x, और x = 7।
- जाँच: 12 : 16 = 3 : 4।
उदाहरण 6: एक थैले में ₹1, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के 1 : 2 : 4 के अनुपात में हैं। कुल मूल्य ₹60 है। हर प्रकार के कितने सिक्के हैं?
- 1, 2 और 4 सिक्कों का एक "सेट" लें। उसका मूल्य = 1 × ₹1 + 2 × ₹0.50 + 4 × ₹0.25 = ₹3।
- सेटों की संख्या = 60 ÷ 3 = 20।
- सिक्के: ₹1 के 20, 50 पैसे के 40, 25 पैसे के 80।
आम गलतियाँ
- गलत संख्या के भागों से भाग देना (5 + 3 = 8 के बजाय 5 लेना)।
- बीच वाला पद बराबर किए बिना दो अनुपात जोड़ देना।
- अलग-अलग इकाइयों वाली राशियों की तुलना करना।
- तृतीयानुपाती और चतुर्थानुपाती को आपस में मिला देना।
- "x" निकालने के बाद असली राशियाँ बताना भूल जाना।
अभ्यास सेट
- ₹1,000 को 2 : 3 के अनुपात में बाँटें।
- A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5। A : B : C ज्ञात करें।
- 3 और 6 का तृतीयानुपाती ज्ञात करें।
- 9 और 25 का मध्यानुपाती ज्ञात करें।
- दो संख्याएँ 4 : 5 के अनुपात में हैं और उनका योग 270 है। संख्याएँ ज्ञात करें।
- ₹3,600 को A, B और C में 2 : 3 : 4 के अनुपात में बाँटें।
- 15 और 23 दोनों में से कौन-सी संख्या घटाई जाए कि अनुपात 1 : 3 हो जाए?
- अगर A : B = 3 : 4, तो (2A + B) : (A + 2B) ज्ञात करें।
उत्तर:
- ₹400 और ₹600। 5 भाग; एक भाग = 200।
- 8 : 12 : 15। B = 12 करें: A : B = 8 : 12 और B : C = 12 : 15।
- 12। 6² ÷ 3 = 36 ÷ 3।
- 15। √(9 × 25) = √225।
- 120 और 150। 9 भाग; एक भाग = 30।
- ₹800, ₹1,200 और ₹1,600। 9 भाग; एक भाग = 400।
- 11। (15 − x) ÷ (23 − x) = 1/3, इसलिए 45 − 3x = 23 − x और x = 11। जाँच: 4 : 12 = 1 : 3।
- 10 : 11। A = 3 और B = 4 रखें: (6 + 4) : (3 + 8)।
आगे क्या करें
- "अनुपात में बाँटो" वाले दस प्रश्न हल करें और हर एक को हिस्से जोड़कर जाँचें।
- तीन पदों वाले अनुपात जोड़ने के पाँच प्रश्नों का अभ्यास तब तक करें जब तक बिना लिखे न होने लगें।
- समानुपाती वाली तालिका याद करें और तृतीयानुपाती बनाम चतुर्थानुपाती पर खुद को परखें।
- अनुपात का फिर से इस्तेमाल आयु के प्रश्नों और औसत में करें।
तारीख़ों और आँकड़ों पर एक बात। परीक्षा का पैटर्न, रिक्तियाँ और कार्यक्रम हर साल बदल सकते हैं। ताज़ा जानकारी हमेशा Railway Recruitment Boards की वेबसाइट पर जारी नवीनतम अधिसूचना में देखें।
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