RRB NTPC के लिए औसत: कुल योग विधि, शॉर्टकट और अभ्यास

औसत (average) के प्रश्न ऊपर से अलग-अलग दिखते हैं: विद्यार्थी और एक शिक्षक, बल्लेबाज़ की पारियाँ, परिवार के सदस्यों की आयु, समूह में बदला गया एक व्यक्ति। भीतर से, लगभग सभी एक ही तरह हल होते हैं। आप औसत को कुल योग में बदलते हैं, कुल योगों को जोड़ते या घटाते हैं, और परिणाम को वापस औसत में बदल देते हैं।

इसी कारण औसत NTPC गणित में अंक दिलाने वाले सबसे भरोसेमंद विषयों में से एक है। एक बार कुल योग विधि आदत बन जाए, तो ज़्यादातर प्रश्न तीन छोटी पंक्तियों में हल हो जाते हैं।

एक ही सूत्र

औसत = कुल योग ÷ वस्तुओं की संख्या। इसे उलट दें:

कुल योग = औसत × संख्या।

यही कुंजी क्यों है: औसतों को सीधे जोड़ा या घटाया नहीं जा सकता, लेकिन कुल योगों को जोड़ा-घटाया जा सकता है। अगर पाँच संख्याओं का औसत 20 है और उनमें से चार का औसत 18, तो 20 में से 18 घटाकर आपको कुछ पता नहीं चलता। पर 100 में से 72 घटाकर आप पाते हैं कि छूटी हुई संख्या 28 है।

शॉर्टकट, और हर एक क्यों काम करता है

बराबर अंतर वाली संख्याएँ। समांतर श्रेणी (arithmetic progression) की संख्याओं (जैसे 12, 15, 18, 21, 24) का औसत बीच वाला पद होता है, या बीच के दो पदों का औसत। यह (पहला + अंतिम) ÷ 2 के बराबर भी होता है।
क्यों: संख्याएँ बीच वाले पद के दोनों ओर जोड़ियाँ बनाती हैं। 12 और 24 का औसत 18, 15 और 21 का औसत 18, और 18 तो 18 है ही।

इसलिए पहली n प्राकृत संख्याओं का औसत (n + 1)/2 है, पहली n सम संख्याओं का n + 1, और पहली n विषम संख्याओं का n।

हर वस्तु में एक ही राशि जोड़ना। अगर हर वस्तु k बढ़ जाए, तो औसत भी k बढ़ जाता है। अगर हर वस्तु को k से गुणा किया जाए, तो औसत को भी।
क्यों: कुल योग n × k बढ़ता है, और n से भाग देने पर k मिलता है।

विचलन विधि (deviation method)। आँकड़ों के पास की कोई सुविधाजनक संख्या चुनें, हर वस्तु उससे कितनी दूर है उसे जोड़ें, और सुधार कर लें।
क्यों: यह "हर वस्तु में k जोड़ें" वाला नियम ही उलटी दिशा में है। आप बड़ी संख्याओं के बजाय छोटे विचलनों का औसत निकाल रहे हैं।

समय के साथ आयु। n वर्ष बाद समूह का हर सदस्य n वर्ष बड़ा हो जाता है, इसलिए औसत आयु n बढ़ जाती है, बशर्ते कोई जुड़े या छोड़े नहीं।

सदस्य जोड़ना, हटाना और बदलना

समूह का आकार हमेशा ध्यान से गिनें। जब 30 विद्यार्थियों में एक शिक्षक जुड़ते हैं, तो नया कुल योग 31 लोगों का होता है।

भारित औसत (weighted average)

जब अलग-अलग आकार के दो समूह मिलते हैं, तो कुल औसत (n₁ × a₁ + n₂ × a₂) ÷ (n₁ + n₂) होता है। यह हमेशा दोनों समूहों के औसतों के बीच होता है, और बड़े समूह के औसत के ज़्यादा पास होता है।

क्यों: यह फिर से कुल योग विधि ही है। हर समूह का कुल योग उसका आकार गुणा उसका औसत है।

NTPC स्तर के हल किए गए प्रश्न

प्रश्न 1. 47, 52, 49, 55 और 57 का औसत ज्ञात कीजिए।

50 को आधार लें। विचलन: −3, +2, −1, +5, +7। इनका योग 10 है, और 10 ÷ 5 = 2।
औसत = 50 + 2 = 52। जाँच: कुल योग = 260, और 260 ÷ 5 = 52।

प्रश्न 2. 30 विद्यार्थियों की औसत आयु 14 वर्ष है। शिक्षक की आयु शामिल करने पर औसत 15 हो जाता है। शिक्षक की आयु ज्ञात कीजिए।

31 का कुल योग = 31 × 15 = 465। 30 का कुल योग = 30 × 14 = 420।
शिक्षक की आयु = 465 − 420 = 45 वर्ष।

एक तेज़ तरीका: शिक्षक के जुड़ने से 31 लोगों का औसत 1 बढ़ता है, इसलिए शिक्षक की आयु पुराने औसत से 31 वर्ष अधिक है: 14 + 31 = 45।

प्रश्न 3. 10 पारियों के बाद एक बल्लेबाज़ का औसत 32 है। औसत को 34 तक ले जाने के लिए 11वीं पारी में कितने रन बनाने होंगे?

11 पारियों के बाद लक्ष्य कुल योग = 11 × 34 = 374। वर्तमान कुल योग = 10 × 32 = 320।
ज़रूरी रन = 54।

प्रश्न 4. 60 किग्रा वज़न वाले एक व्यक्ति की जगह एक नया व्यक्ति आने पर 8 लोगों का औसत वज़न 2 किग्रा बढ़ जाता है। नए व्यक्ति का वज़न ज्ञात कीजिए।

कुल योग 8 × 2 = 16 किग्रा बढ़ता है। इसलिए नए व्यक्ति का वज़न जाने वाले व्यक्ति से 16 किग्रा अधिक है।
नया व्यक्ति = 60 + 16 = 76 किग्रा।

प्रश्न 5. 20 विद्यार्थियों वाले एक सेक्शन का औसत 50 अंक है और 30 विद्यार्थियों वाले दूसरे सेक्शन का 60। सभी 50 विद्यार्थियों का औसत ज्ञात कीजिए।

(20 × 50 + 30 × 60) ÷ 50 = (1,000 + 1,800) ÷ 50 = 56।
यह 60 के ज़्यादा पास है, क्योंकि दूसरा सेक्शन बड़ा है।

प्रश्न 6. 11 परिणामों का औसत 50 है। पहले छह का औसत 49 है और अंतिम छह का 52। छठा परिणाम ज्ञात कीजिए।

छठा परिणाम छह-छह के दोनों समूहों में गिना गया है।
पहले छह + अंतिम छह = 6 × 49 + 6 × 52 = 294 + 312 = 606। सभी ग्यारह = 11 × 50 = 550।
छठा परिणाम = 606 − 550 = 56।

आम गलतियाँ

• समूह के आकार का भार दिए बिना दो औसतों का औसत निकालना।
• किसी के जुड़ने या छोड़ने के बाद समूह को गलत गिनना।
• औसत में बदलाव और कुल योग में बदलाव को एक मान लेना। 8 लोगों के औसत में 2 किग्रा की वृद्धि, कुल योग में 16 किग्रा की वृद्धि है।
• बराबर दूरियों पर औसत चाल के लिए (x + y)/2 लेना।
• यह भूल जाना कि समय के साथ आयु बढ़ती है। पाँच वर्ष बाद हर सदस्य पाँच वर्ष बड़ा होता है।

अभ्यास सेट

1. 8, 12, 16 और 20 का औसत ज्ञात कीजिए।
2. 6 संख्याओं का औसत 25 है। अगर एक संख्या हटा दी जाए, तो औसत 24 हो जाता है। हटाई गई संख्या ज्ञात कीजिए।
3. 45 किग्रा वज़न वाले एक व्यक्ति की जगह नया व्यक्ति आने पर 20 लोगों का औसत वज़न 1 किग्रा बढ़ जाता है। नए व्यक्ति का वज़न ज्ञात कीजिए।
4. पहली 20 सम संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।
5. तीन संख्याओं का औसत 40 है। उनमें से दो संख्याएँ 30 और 42 हैं। तीसरी ज्ञात कीजिए।
6. पाँच वर्ष पहले चार सदस्यों वाले एक परिवार की औसत आयु 24 वर्ष थी। तब से एक बच्चे का जन्म हुआ है, और आज पाँचों सदस्यों की औसत आयु 24 वर्ष है। बच्चे की आयु कितनी है?
7. 11 परिणामों का औसत 60 है। पहले छह का औसत 58 है और अंतिम छह का 63। छठा परिणाम ज्ञात कीजिए।
8. पहली 50 प्राकृत संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. 14। बराबर अंतर वाली संख्याएँ हैं, इसलिए 8 और 20 का औसत।
2. 30। 6 × 25 − 5 × 24 = 150 − 120।
3. 65 किग्रा। कुल योग 20 × 1 = 20 बढ़ता है; 45 + 20 = 65।
4. 21। पहली n सम संख्याओं का औसत n + 1 होता है। जाँच: (2 + 40) ÷ 2 = 21।
5. 48। 3 × 40 − (30 + 42) = 120 − 72।
6. 4 वर्ष। आज चार सदस्यों का कुल योग 4 × 24 + 4 × 5 = 116 है। पाँचों का कुल योग 5 × 24 = 120 है। बच्चा = 4।
7. 66। 6 × 58 + 6 × 63 − 11 × 60 = 348 + 378 − 660।
8. 25.5। (50 + 1) ÷ 2।

आगे क्या करें

• अगले 20 औसत वाले प्रश्नों में, कोई भी दूसरी गणना करने से पहले कुल योग वाली पंक्ति लिखें।
• एक हफ़्ते तक रोज़ संख्याओं के पाँच सेटों पर विचलन विधि का अभ्यास करें।
• अनुपात और समानुपात दोहराएँ, फिर लाभ और हानि पर जाएँ।