RRB NTPC के लिए अनुपात और समानुपात: विधियाँ, पैटर्न और अभ्यास

अनुपात (ratio) एक ही प्रकार की दो राशियों की तुलना करता है। समानुपात (proportion) बताता है कि दो अनुपात बराबर हैं। पूरा सिद्धांत बस इतना ही है। इस विषय को तेज़ या धीमा बनाने वाली चीज़ एक आदत है: अनुपात को बराबर भागों की संख्या के रूप में देखना।

अनुपात दूसरे विषयों के भीतर भी बैठा है। साझेदारी, किसी अनुपात में बाँटा गया लाभ ही है। मिश्रण, आयु और चाल के प्रश्न अक्सर एक कहानी में लिपटे अनुपात के प्रश्न होते हैं। अगर आप भागों को साफ़-साफ़ सँभाल लेते हैं, तो वे अध्याय भी आसान हो जाते हैं।

भागों में सोचें

अगर पैसे को 2 : 3 : 4 के अनुपात में बाँटा जाए, तो कुल राशि 2 + 3 + 4 = 9 बराबर भागों में कटती है। पहले व्यक्ति को उनमें से 2 भाग मिलते हैं, दूसरे को 3, तीसरे को 4।

इसलिए विधि हमेशा यही है: अनुपात के पद जोड़ें, एक भाग का मान निकालें, फिर गुणा करें।

यह क्यों काम करता है: अनुपात बताता है कि हर हिस्से में कितने बराबर भाग हैं, पर यह कभी नहीं बताता कि एक भाग कितना बड़ा है। कुल राशि एक भाग का आकार तय करती है, और बाकी सब उसी से निकलता है।

अगर हर पद को एक ही संख्या से गुणा या भाग दें, तो अनुपात नहीं बदलता। 8 : 12 वही है जो 2 : 3 है। इसीलिए अनुपातों को जोड़ते समय आप उन्हें खुलकर बड़ा-छोटा कर सकते हैं।

दो अनुपातों को जोड़ना

अगर आपको A : B और B : C पता हैं, तो B के पद बराबर करें, फिर A : B : C पढ़ लें।

A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5। B एक में 3 है और दूसरे में 4; इनका LCM 12 है। पहले अनुपात को 4 से और दूसरे को 3 से गुणा करें: A : B = 8 : 12 और B : C = 12 : 15। इसलिए A : B : C = 8 : 12 : 15।

यह क्यों काम करता है: दोनों अनुपातों में B एक ही व्यक्ति है। जब तक B को भागों की एक ही संख्या में न लिखा जाए, दोनों अनुपातों के भाग अलग-अलग आकार के होते हैं और उनकी तुलना नहीं हो सकती।

भिन्नों के रूप में दिए गए अनुपात

अगर हिस्से 1/2 : 1/3 : 1/4 के अनुपात में हैं, तो हर पद को हरों के LCM (12) से गुणा करें और 6 : 4 : 3 पाएँ। अनुपात नहीं बदलता, क्योंकि हर पद को एक ही संख्या से गुणा किया गया है।

समानुपाती

तीनों एक ही नियम से निकलते हैं: a : b = c : d में बाहरी पदों का गुणनफल भीतरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है, इसलिए ad = bc।

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम समानुपात

• प्रत्यक्ष (direct): एक राशि दोगुनी हो तो दूसरी भी दोगुनी हो। कपड़े की कीमत और उसकी लंबाई; स्थिर चाल पर दूरी और समय।
• व्युत्क्रम (inverse): एक दोगुनी हो तो दूसरी आधी हो जाए। किसी तय काम के लिए मज़दूर और दिन; तय दूरी के लिए चाल और समय।

समीकरण लिखने से पहले तय करें कि संबंध किस प्रकार का है। व्युत्क्रम संबंध को प्रत्यक्ष मान लेना समय और कार्य में गलत उत्तरों का एक आम कारण है।

NTPC स्तर के हल किए गए प्रश्न

प्रश्न 1. ₹5,200 को A, B और C में 1/2 : 1/3 : 1/4 के अनुपात में बाँटा जाता है। हर एक का हिस्सा ज्ञात कीजिए।

12 से गुणा करें: अनुपात 6 : 4 : 3 हो जाता है, यानी 13 भाग। एक भाग = 5,200 ÷ 13 = 400।
हिस्से: A ₹2,400, B ₹1,600, C ₹1,200।

प्रश्न 2. A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5। अगर तीनों के पास कुल ₹10,500 हैं, तो C के पास कितने हैं?

ऊपर के खंड से, A : B : C = 8 : 12 : 15, यानी 35 भाग। एक भाग = 10,500 ÷ 35 = 300।
C के पास 15 × 300 = ₹4,500 हैं। (A के पास ₹2,400 और B के पास ₹3,600 हैं।)

प्रश्न 3. दो संख्याएँ 3 : 4 के अनुपात में हैं। अगर हर एक में 6 जोड़ दिया जाए, तो अनुपात 4 : 5 हो जाता है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

मान लें संख्याएँ 3x और 4x हैं। तब (3x + 6)/(4x + 6) = 4/5।
वज्र गुणन करें: 5(3x + 6) = 4(4x + 6), इसलिए 15x + 30 = 16x + 24, और x = 6।
संख्याएँ 18 और 24 हैं। जाँच: 24 : 30 = 4 : 5।

प्रश्न 4. दो व्यक्तियों की आय 5 : 3 के अनुपात में है और उनके व्यय 9 : 5 के अनुपात में। दोनों हर महीने ₹2,000 बचाते हैं। उनकी आय ज्ञात कीजिए।

मान लें आय 5x और 3x है, और व्यय 9y और 5y। बचत बराबर है, इसलिए 5x − 9y = 3x − 5y, जिससे 2x = 4y, यानी x = 2y।
इसे 3x − 5y = 2,000 में रखें: 6y − 5y = 2,000, इसलिए y = 2,000 और x = 4,000।
आय: ₹20,000 और ₹12,000। जाँच: व्यय ₹18,000 और ₹10,000 हैं, और दोनों ₹2,000 बचाते हैं।

प्रश्न 5. एक थैले में ₹1, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के संख्या में 5 : 6 : 8 के अनुपात में हैं। कुल मूल्य ₹210 है। हर प्रकार के कितने सिक्के हैं?

संख्या के अनुपात को मूल्य के अनुपात में बदलें: 5 × 1 : 6 × 0.5 : 8 × 0.25 = 5 : 3 : 2, यानी 10 भाग।
एक भाग = 210 ÷ 10 = ₹21। मूल्य: ₹105, ₹63 और ₹42।
सिक्के: 1 रुपये के 105, 50 पैसे के 63 ÷ 0.5 = 126, और 25 पैसे के 42 ÷ 0.25 = 168। इसलिए 105, 126 और 168।
जाँच: 105 : 126 : 168 को 21 से भाग देने पर 5 : 6 : 8 मिलता है।

प्रश्न 6. 6, 14, 18 और 38 में से हर एक में कौन-सी संख्या जोड़ी जाए कि परिणाम समानुपात में हों?

मान लें संख्या x है। तब (6 + x)(38 + x) = (14 + x)(18 + x)।
विस्तार करें: 228 + 44x + x² = 252 + 32x + x²। इसलिए 12x = 24 और x = 2।
जाँच: 8 : 16 = 20 : 40, दोनों 1 : 2 के बराबर।

आम गलतियाँ

• भागों की गलत संख्या से भाग देना। 2 : 3 : 4 में एक भाग = कुल ÷ 9, ÷ 3 नहीं।
• साझा पद बराबर किए बिना अनुपात जोड़ना। A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5 से 2 : 3 : 5 नहीं मिलता।
• सिक्कों वाले प्रश्नों में संख्या के अनुपात को मूल्य के अनुपात से मिला देना।
• तृतीयानुपाती और चतुर्थानुपाती में उलझना। तृतीयानुपाती में केवल दो संख्याएँ होती हैं।
• संख्याओं के बजाय अनुपात में जोड़ना। 3 : 4 के हर पद में 6 जोड़ने से 9 : 10 मिलता है, जिसका कोई अर्थ नहीं है। 6 को असली संख्याओं, 3x और 4x, में जोड़ें।

अभ्यास सेट

1. ₹900 को 4 : 5 के अनुपात में बाँटिए।
2. A : B = 3 : 4 और B : C = 6 : 7। A : B : C ज्ञात कीजिए।
3. 4 और 8 का तृतीयानुपाती ज्ञात कीजिए।
4. 4 और 25 का मध्यानुपाती ज्ञात कीजिए।
5. दो संख्याएँ 5 : 7 के अनुपात में हैं। अगर हर एक में से 4 घटा दिया जाए, तो अनुपात 3 : 5 हो जाता है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
6. ₹9,400 को 1/3 : 1/4 : 1/5 के अनुपात में बाँटिए।
7. A और B के वेतन 4 : 5 के अनुपात में हैं। दोनों के वेतन में ₹2,000 की वृद्धि के बाद अनुपात 9 : 11 हो जाता है। उनके वेतन ज्ञात कीजिए।
8. 4, 6 और 10 का चतुर्थानुपाती ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. ₹400 और ₹500। ₹100 के 9 भाग।
2. 9 : 12 : 14। B को 12 के बराबर करें: 9 : 12 और 12 : 14।
3. 16। 8² ÷ 4।
4. 10। √(4 × 25) = √100।
5. 10 और 14। (5x − 4)/(7x − 4) = 3/5 से 25x − 20 = 21x − 12, इसलिए x = 2। जाँच: 6 : 10 = 3 : 5।
6. ₹4,000, ₹3,000 और ₹2,400। 60 से गुणा करें: 20 : 15 : 12, यानी ₹200 के 47 भाग।
7. ₹16,000 और ₹20,000। (4x + 2,000)/(5x + 2,000) = 9/11 से 44x + 22,000 = 45x + 18,000, इसलिए x = 4,000।
8. 15। 6 × 10 ÷ 4।

आगे क्या करें

• इस हफ़्ते अनुपात के 20 प्रश्न हल करें, और हर एक में गणना से पहले भागों की संख्या लिखें।
• "दो अनुपातों को जोड़ें" वाले दस प्रश्नों का अभ्यास तब तक करें जब तक साझा पद बराबर करना अपने-आप न होने लगे।
• इसके बाद औसत पर जाएँ और फिर मिश्रण और एलीगेशन पर, जिसमें शुरू से अंत तक अनुपात का उपयोग होता है।