RRB NTPC के लिए प्रतिशत: विधियाँ, शॉर्टकट और अभ्यास

"प्रतिशत" (per cent) का अर्थ है "प्रति सौ"। RRB NTPC का आधा अंकगणित इसी एक विचार पर टिका है। लाभ और हानि, क्रय मूल्य पर प्रतिशत है। ब्याज, मूलधन पर प्रतिशत है। आँकड़ों की व्याख्या (data interpretation) की तालिका प्रतिशत परिवर्तन पूछती है। अगर प्रतिशत में आप धीमे हैं, तो ये सभी विषय भी धीमे होंगे।

अच्छी बात यह है कि प्रतिशत के प्रश्न गिने-चुने रूपों में आते हैं। ये रूप सीख लें, और हर शॉर्टकट के काम करने का कारण भी, तो आप इनमें से ज़्यादातर प्रश्न 45 सेकंड से कम में हल कर सकते हैं।

प्रतिशत भिन्न ही हैं

प्रतिशत एक ऐसी भिन्न है जिसका हर 100 है, इसलिए 25% = 25/100 = 1/4। भिन्नों में सोचने से गुणा एक छोटा भाग बन जाता है: 360 का 25% = 360 ÷ 4 = 90।

दो और आदतें मदद करती हैं। प्रतिशत को आसान टुकड़ों में तोड़ें: 640 का 15% = 10% (64) + 5% (32) = 96। जहाँ मदद मिले, संख्याएँ अदल-बदल दें: y का x% = x का y%, इसलिए 25 का 16% = 16 का 25% = 4।

प्रतिशत परिवर्तन हमेशा मूल मान पर होता है

प्रतिशत परिवर्तन = (परिवर्तन ÷ मूल मान) × 100।

अगर कोई कीमत ₹250 से ₹300 हो जाती है, तो परिवर्तन 50 है और मूल मान 250, इसलिए वृद्धि 20% है। ₹300 से वापस ₹250 पर आना 300 पर 50 की कमी है, यानी 16 2/3%। वही ₹50, अलग आधार, अलग प्रतिशत।

क्रमिक परिवर्तन (successive change): a + b + ab/100

a% परिवर्तन के बाद b% परिवर्तन हो (कमी के लिए ऋण चिह्न लगाएँ), तो कुल परिवर्तन a + b + ab/100 प्रतिशत होता है।

यह क्यों काम करता है: गुणक (1 + a/100)(1 + b/100) = 1 + a/100 + b/100 + ab/10,000 है। इसमें से 1 घटाएँ और 100 से गुणा करें। ab/100 वाला पद "परिवर्तन पर परिवर्तन" है, और इसी कारण 20% की वृद्धि और 20% की कमी एक-दूसरे को बराबर नहीं करतीं।

"से अधिक" और "से कम"

अगर A, B से r% अधिक है, तो B, A से r/(100 + r) × 100 प्रतिशत कम है।
अगर A, B से r% कम है, तो B, A से r/(100 − r) × 100 प्रतिशत अधिक है।

क्यों: A और B के बीच का अंतर दोनों ओर से एक ही राशि है, लेकिन आधार बदल जाता है। B = 100 और A = 125 लें। 25 का अंतर B का 25% है, लेकिन A का केवल 20%।

मूल्य और खपत

व्यय = मूल्य × खपत। अगर मूल्य r% बढ़ता है और व्यय उतना ही रखना है, तो खपत r/(100 + r) × 100 प्रतिशत घटानी होगी। अगर मूल्य r% घटता है, तो खपत r/(100 − r) × 100 प्रतिशत बढ़ाई जा सकती है।

क्यों: यह फिर से "से अधिक, से कम" वाला नियम है। गुणनफल स्थिर रहे, इसके लिए खपत उसी गुणक से घटनी चाहिए जिससे मूल्य बढ़ता है।

वृद्धि और मूल्यह्रास (depreciation)

r% वार्षिक दर से n वर्ष तक बढ़ने वाली जनसंख्या P × (1 + r/100)ⁿ हो जाती है। r% वार्षिक दर से मूल्य खोने वाली मशीन का मूल्य P × (1 − r/100)ⁿ हो जाता है। यह दूसरे संदर्भ में चक्रवृद्धि ब्याज का ही सूत्र है, इसलिए वर्ष-दर-वर्ष वाली तेज़ विधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज देखें।

NTPC स्तर के हल किए गए प्रश्न

प्रश्न 1. एक कीमत 20% बढ़ती है और फिर 20% घटती है। कुल परिवर्तन ज्ञात कीजिए।

20 − 20 + (20 × −20)/100 = −4। 4% की कमी।
जाँच: 100 → 120 → 96।

प्रश्न 2. A का वेतन B के वेतन से 25% अधिक है। B का वेतन A के वेतन से कितने प्रतिशत कम है?

मान लें B = 100, तो A = 125। B, A से 25 कम है: 25 ÷ 125 × 100 = 20%।

प्रश्न 3. चीनी का मूल्य 25% बढ़ जाता है। व्यय उतना ही रखने के लिए एक परिवार को खपत कितने प्रतिशत घटानी होगी?

25 ÷ 125 × 100 = 20%।
जाँच: मूल्य 100 → 125, खपत 100 → 80; व्यय 100 × 100 = 125 × 80 = 10,000।

प्रश्न 4. एक कस्बे की जनसंख्या 20,000 है और हर वर्ष 10% बढ़ती है। 2 वर्ष बाद जनसंख्या कितनी होगी?

20,000 × 1.1 = 22,000; 22,000 × 1.1 = 24,200।

प्रश्न 5. एक अभ्यर्थी को 30% अंक मिलते हैं और वे 15 अंकों से अनुत्तीर्ण हो जाते हैं। दूसरे अभ्यर्थी को 40% अंक मिलते हैं, जो उत्तीर्ण अंक से 35 अधिक हैं। अधिकतम अंक और उत्तीर्ण अंक ज्ञात कीजिए।

दोनों अभ्यर्थियों के बीच का अंतर अधिकतम अंकों का 40% − 30% = 10% है, और अंकों में यह 15 + 35 = 50 है।
इसलिए 10% = 50, और अधिकतम अंक 500 हैं। उत्तीर्ण अंक: 500 का 30% + 15 = 165।
जाँच: 500 का 40% = 200, और 200 − 35 = 165।

प्रश्न 6. दो उम्मीदवारों के बीच हुए एक चुनाव में 10% मतदाताओं ने मतदान नहीं किया। विजेता को डाले गए मतों का 60% मिला और जीत 1,800 मतों से हुई। मतदाता सूची में कितने मतदाता थे?

हारने वाले उम्मीदवार को डाले गए मतों का 40% मिला, इसलिए जीत का अंतर डाले गए मतों का 20% है। 20% = 1,800, इसलिए डाले गए मत = 9,000।
डाले गए मत सूची के 90% हैं: 9,000 ÷ 0.9 = 10,000।

आम गलतियाँ

• गलत आधार। प्रतिशत परिवर्तन मूल मान पर होता है, नए मान पर नहीं।
• यह मान लेना कि +x% और −x% बराबर हो जाते हैं। इनसे हमेशा x²/100 प्रतिशत की हानि बचती है।
• अलग-अलग आधारों के प्रतिशत जोड़ देना। A का 10% और B का 10% मिलकर किसी का 20% नहीं होता, जब तक A = B न हो।
• मतदान न करने वालों या अमान्य मतों को भूल जाना। चुनाव वाले प्रश्नों में देखें कि प्रतिशत डाले गए मतों का है या पूरी सूची का।
• प्रश्न संख्या पूछे और उत्तर प्रतिशत में देना, या इसका उलटा।

अभ्यास सेट

1. 360 का 35% ज्ञात कीजिए।
2. 45, 180 का कितना प्रतिशत है?
3. किसी संख्या को 10% बढ़ाया जाता है और फिर 10% घटाया जाता है। कुल परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
4. अगर किसी वस्तु का मूल्य 20% घट जाए, तो उतने ही व्यय में खरीदार खपत कितने प्रतिशत बढ़ा सकता है?
5. A की आय B की आय से 20% कम है। B की आय A की आय से कितने प्रतिशत अधिक है?
6. किसी संख्या को 20% बढ़ाने पर वह 150 हो जाती है। संख्या ज्ञात कीजिए।
7. 50,000 की आबादी वाले एक कस्बे की जनसंख्या हर वर्ष 4% घटती है। 2 वर्ष बाद इसकी जनसंख्या कितनी होगी?
8. उत्तीर्ण होने के लिए एक विद्यार्थी को अधिकतम अंकों के 35% चाहिए। विद्यार्थी को 212 अंक मिलते हैं और वे 33 अंकों से अनुत्तीर्ण रह जाते हैं। अधिकतम अंक ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. 126। 10% = 36, इसलिए 30% = 108 और 5% = 18; 108 + 18 = 126।
2. 25%। 45/180 = 1/4।
3. 1% की कमी। 10 − 10 + (10 × −10)/100 = −1।
4. 25%। 20 ÷ 80 × 100।
5. 25%। मान लें B = 100, तो A = 80; B, 20 अधिक है, और 20 ÷ 80 × 100 = 25।
6. 125। 150 ÷ 1.2।
7. 46,080। 50,000 × 0.96 = 48,000; 48,000 × 0.96 = 46,080।
8. 700। उत्तीर्ण अंक = 212 + 33 = 245, जो 35% है; 245 ÷ 0.35 = 700।

आगे क्या करें

• ऊपर दी गई भिन्न–प्रतिशत तालिका सीखें; दोनों ओर से खुद को परखें, भिन्न से प्रतिशत और प्रतिशत से भिन्न।
• एक हफ़्ते तक रोज़ प्रतिशत के 20 प्रश्न हल करें, हर एक के लिए 45 सेकंड का समय रखें।
• क्रमिक परिवर्तन और "से अधिक, से कम" वाले नियम अपनी सूत्र पुस्तिका में लिखें, हर एक के साथ उसका कारण भी।
• इसके बाद लाभ और हानि पर जाएँ, जो ख़रीदने और बेचने पर लागू प्रतिशत ही है, और फिर अनुपात और समानुपात पर।