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सरलीकरण (simplification) का अर्थ है अंकगणित को सही क्रम में और तेज़ी से करना। इन प्रश्नों में न कोई सूत्र चाहिए, न कोई चतुर तरकीब, और ठीक इसी वजह से ये लापरवाही की सज़ा देते हैं। परीक्षक आम चूकों को जानते हैं, और हर चूक से जो उत्तर निकलता है वह आमतौर पर चार विकल्पों में बैठा होता है।
गणित का यह वह क्षेत्र भी है जिसमें सबसे जल्दी सुधार होता है। संक्रियाओं के क्रम, भिन्न–दशमलव जोड़ियों और मूलों पर एक हफ़्ते का केंद्रित अभ्यास इन प्रश्नों को 20 से 30 सेकंड का बना सकता है। और यही कौशल हर दूसरे विषय में काम आता है: लाभ और हानि या ब्याज का प्रश्न भी अंत में एक सरलीकरण ही होता है।
BODMAS, और यह क्रम तय क्यों है
| चरण | अर्थ | टिप्पणी |
|---|---|---|
| B | कोष्ठक (Brackets) | सबसे अंदर वाला पहले: ( ), फिर { }, फिर [ ] |
| O | घात और "का" (Orders और "of") | घात, मूल और "का" |
| D, M | भाग और गुणा (Division और Multiplication) | बराबर दर्जा, बाएँ से दाएँ |
| A, S | जोड़ और घटाना (Addition और Subtraction) | बराबर दर्जा, बाएँ से दाएँ |
बाएँ से दाएँ क्यों ज़रूरी है: भाग देना, व्युत्क्रम से गुणा करना ही है, इसलिए 18 ÷ 3 × 2 का अर्थ है 18 × 1/3 × 2 = 12। अगर आप पहले गुणा करें तो 18 ÷ 6 = 3 मिलेगा, जो अलग संख्या है। यह नियम इसीलिए है ताकि एक व्यंजक का एक ही उत्तर हो।
"का" (of) का नियम। भारतीय परीक्षा प्रश्नपत्रों में "of" (हिंदी प्रश्नपत्रों में "का") को ऐसा गुणा माना जाता है जो सामान्य भाग और गुणा से पहले होता है। इसलिए 48 ÷ 4 का 3 = 48 ÷ 12 = 4, न कि 12 × 3 = 36। "का" अपने दोनों ओर की संख्याओं को एक मात्रा में बाँध देता है, जैसे "90 का एक-तिहाई"।
भिन्न और दशमलव: जो तेज़ हो, उसमें बदल लें
कई दशमलव असल में आसान भिन्न होते हैं। ये जोड़ियाँ सीख लें, तो गुणा किसी छोटी संख्या से भाग बन जाता है।
| दशमलव | भिन्न | दशमलव | भिन्न |
|---|---|---|---|
| 0.5 | 1/2 | 0.125 | 1/8 |
| 0.25 | 1/4 | 0.375 | 3/8 |
| 0.75 | 3/4 | 0.625 | 5/8 |
| 0.2 | 1/5 | 0.0625 | 1/16 |
| 0.333… | 1/3 | 0.1666… | 1/6 |
इसलिए 0.375 × 640, 640 का 3/8 है = 3 × 80 = 240, दशमलव की कोई गणना किए बिना।
सन्निकटन (approximation): कब पूर्णांकन करें और कब नहीं
कुछ प्रश्नों में "लगभग" लिखा होता है और विकल्प एक-दूसरे से काफ़ी दूर होते हैं। हर संख्या को किसी सुविधाजनक मान तक पूर्णांकित करें, फिर गणना करें।
- 399.8 × 20.1 ≈ 400 × 20 = 8,000।
- 1,198 ÷ 39.9 ≈ 1,200 ÷ 40 = 30।
यह सुरक्षित क्यों है: 399.8 को 0.2 ऊपर और 20.1 को 0.1 नीचे करने से गुणनफल में 1% से भी काफ़ी कम बदलाव आता है। अगर विकल्पों में 10% या उससे ज़्यादा का अंतर है, तो यह त्रुटि आपका चुनाव नहीं बदल सकती।
पहले विकल्प देखें। अगर दो विकल्प पास-पास हैं, तो कम पूर्णांकन करें, या सटीक गणना करें।
वर्ग, वर्गमूल और घनमूल
30 तक के वर्ग और 15 तक के घन ज़बानी याद रखें। फिर पूर्ण वर्गों और पूर्ण घनों के मूल निकालने के लिए इकाई अंक का उपयोग करें।
वर्गमूल (square root)। जिस वर्ग का अंतिम अंक 1 हो, उसके मूल का अंतिम अंक 1 या 9 होता है; अंतिम अंक 4 हो तो मूल का अंतिम अंक 2 या 8; 5 हो तो 5; 6 हो तो 4 या 6; 9 हो तो 3 या 7।
√1,764 के लिए: 40² = 1,600 और 50² = 2,500, इसलिए मूल 40 और 50 के बीच है और उसका अंतिम अंक 2 या 8 है। 1,764, 1,600 के काफ़ी पास है, इसलिए 42 आज़माएँ: 42² = 1,764।
घनमूल (cube root)। घन का हर इकाई अंक मूल के ठीक एक इकाई अंक की ओर इशारा करता है। 0, 1, 4, 5, 6 और 9 वही रहते हैं; 2 और 8 आपस में बदल जाते हैं; 3 और 7 आपस में बदल जाते हैं।
∛2,197 के लिए: अंतिम तीन अंक छोड़ दें और 2 को देखें। 2 से बड़ा न होने वाला सबसे बड़ा घन 1³ है, इसलिए दहाई का अंक 1 है। इकाई अंक 7 उस मूल से आता है जिसका अंतिम अंक 3 है। उत्तर: 13। जाँच: 13³ = 2,197।
समय बचाने वाली सर्वसमिकाएँ (identities)
- (a + b)² = a² + 2ab + b², इसलिए 102² = 10,000 + 400 + 4 = 10,404।
- (a − b)² = a² − 2ab + b², इसलिए 98² = 10,000 − 400 + 4 = 9,604।
- a² − b² = (a + b)(a − b), इसलिए 53² − 47² = 100 × 6 = 600।
- 100 के पास: 97 × 96 = (100 − 3 − 4) सैकड़े + 3 × 4 = 9,312।
अंतिम वाला क्यों काम करता है: (100 − a)(100 − b) = 100(100 − a − b) + ab।
NTPC स्तर के हल किए गए प्रश्न
प्रश्न 1. 18 ÷ 3 × 2 + 4 − 1 को सरल कीजिए।
÷ और × के लिए बाएँ से दाएँ: 18 ÷ 3 = 6, फिर 6 × 2 = 12। फिर 12 + 4 − 1 = 15।
प्रश्न 2. 96 ÷ 4 का 2 + 3 × 5 को सरल कीजिए।
पहले "का": 4 का 2 = 8। फिर 96 ÷ 8 = 12 और 3 × 5 = 15। कुल: 12 + 15 = 27।
प्रश्न 3. 1,200 के 3/4 का 2/5 + 400 का 15% का मान ज्ञात कीजिए।
1,200 का 3/4 = 900। 900 का 2/5 = 360। 400 का 15% = 60। कुल: 420।
प्रश्न 4. 0.25 × 480 + 0.125 × 640 का मान ज्ञात कीजिए।
0.25 = 1/4 और 0.125 = 1/8। इसलिए 480 ÷ 4 + 640 ÷ 8 = 120 + 80 = 200।
प्रश्न 5. 601 का 49.8% + 19.95 × 15.02 का लगभग मान ज्ञात कीजिए।
पूर्णांकन करें: 600 का 50% = 300, और 20 × 15 = 300। उत्तर ≈ 600।
(सटीक मान लगभग 598.9 है, इसलिए 600 ही सही विकल्प है।)
प्रश्न 6. √1,764 + ∛2,197 ज्ञात कीजिए।
ऊपर के खंडों से: 42 + 13 = 55।
आम गलतियाँ
- बाईं ओर पहले आने वाले भाग से पहले गुणा कर देना। 48 ÷ 6 × 3 का मान 24 है, 48 ÷ 18 नहीं।
- "का" को नज़रअंदाज़ करना। 72 ÷ 3 का 4 = 72 ÷ 12 = 6।
- विकल्प पास-पास हों तब भी पूर्णांकन करना। सन्निकटन तभी करें जब विकल्प साफ़ तौर पर दूर-दूर हों।
- कोष्ठक खोलते समय ऋण चिह्न छोड़ देना: 20 − (8 − 3) = 15, 9 नहीं।
- स्क्रीन से रफ़ शीट पर अंक गलत उतारना। संख्या दो बार पढ़ें।
अभ्यास सेट
- 48 ÷ 6 × 3 − 4
- 7 + 2 × (15 − 5) ÷ 4
- √2,025
- 98²
- 250 का 40% + 120 का 3/4
- 65² − 35²
- 72 ÷ 3 का 4 + 10
- लगभग: 29.9 × 40.2 − 199.8
उत्तर:
- 20। 48 ÷ 6 = 8; 8 × 3 = 24; 24 − 4 = 20।
- 12। कोष्ठक 10; 2 × 10 = 20; 20 ÷ 4 = 5; 7 + 5 = 12।
- 45। 40² और 50² के बीच, अंतिम अंक 5; 45² = 2,025।
- 9,604। (100 − 2)² = 10,000 − 400 + 4।
- 190। 100 + 90।
- 3,000। (65 + 35)(65 − 35) = 100 × 30।
- 16। 3 का 4 = 12; 72 ÷ 12 = 6; 6 + 10 = 16।
- लगभग 1,000। 30 × 40 − 200 = 1,000। (सटीक: लगभग 1,002।)
आगे क्या करें
- ऊपर दी गई दशमलव–भिन्न तालिका तब तक सीखें जब तक हर जोड़ी बिना सोचे न बोल सकें।
- एक हफ़्ते तक रोज़ सरलीकरण के 20 प्रश्न हल करें, हर एक के लिए 30 सेकंड का लक्ष्य रखें।
- इकाई अंक विधि से रोज़ दस वर्गमूल और पाँच घनमूल निकालने का अभ्यास करें।
- इसके बाद प्रतिशत पर जाएँ, जिसमें यही भिन्न जोड़ियाँ काम आती हैं, और इस विषय को अपनी गणित की योजना में बनाए रखें।
तारीख़ों और आँकड़ों पर एक बात। परीक्षा का पैटर्न, रिक्तियाँ और कार्यक्रम हर साल बदल सकते हैं। ताज़ा जानकारी हमेशा Railway Recruitment Boards की वेबसाइट पर जारी नवीनतम अधिसूचना में देखें।
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