RRB NTPC के लिए LCM और HCF: विधियाँ, पैटर्न और अभ्यास

RRB NTPC में LCM और HCF के प्रश्न छोटे होते हैं। ज़्यादातर प्रश्न लगभग छह पैटर्न में से किसी एक के होते हैं: घंटियों का एक साथ बजना, कई रस्सियों को मापने वाली सबसे बड़ी लंबाई, दिया गया शेषफल छोड़ने वाली सबसे छोटी संख्या, इत्यादि। एक बार आप पहचान लें कि सामने कौन-सा पैटर्न है, तो गणना कुछ सेकंड का काम रह जाती है।

यह विषय दूसरे विषयों की नींव भी है। समय और कार्य, पाइप और टंकी, और भिन्नों का सरलीकरण, सब LCM पर टिके हैं। इसलिए यहाँ लगाया गया समय आगे जाकर वापस मिलता है।

दोनों शब्दों का अर्थ

• HCF (महत्तम समापवर्तक, Highest Common Factor, जिसे GCD भी कहते हैं): वह सबसे बड़ी संख्या जो दी गई हर संख्या को पूरा-पूरा विभाजित करती है।
• LCM (लघुत्तम समापवर्त्य, Lowest Common Multiple): वह सबसे छोटी संख्या जिसे दी गई हर संख्या पूरा-पूरा विभाजित करती है।

परिभाषाओं से ही एक त्वरित जाँच निकलती है। HCF कभी भी सबसे छोटी संख्या से बड़ा नहीं हो सकता, और LCM कभी भी सबसे बड़ी संख्या से छोटा नहीं हो सकता। HCF हमेशा LCM को विभाजित करता है।

विधि 1: अभाज्य गुणनखंड (prime factorisation)

1. हर संख्या को अभाज्य घातों के गुणनफल के रूप में लिखें।
2. HCF = सभी संख्याओं में साझा अभाज्य संख्याएँ, हर एक अपनी सबसे छोटी घात के साथ।
3. LCM = जितनी भी अभाज्य संख्याएँ आई हैं, हर एक अपनी सबसे बड़ी घात के साथ।

यह क्यों काम करता है: कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड केवल वही अभाज्य संख्याएँ ले सकता है जो हर संख्या में हैं, और उतनी ही बार जितनी बार वे सबसे कम बार आने वाली संख्या में हैं। कोई उभयनिष्ठ गुणज हर अभाज्य संख्या को कम से कम उतनी बार रखेगा जितनी बार वह सबसे ज़्यादा बार आने वाली संख्या में है।

36 = 2² × 3² और 84 = 2² × 3 × 7 के लिए: HCF = 2² × 3 = 12, और LCM = 2² × 3² × 7 = 252।

विधि 2: HCF के लिए बार-बार भाग

बड़ी संख्या को छोटी से भाग दें, फिर भाजक को शेषफल से भाग दें, और यह तब तक दोहराएँ जब तक शेषफल 0 न हो जाए। अंतिम भाजक ही HCF है।

84 और 36 के लिए: 84 = 2 × 36 + 12, फिर 36 = 3 × 12 + 0। HCF = 12।

यह क्यों काम करता है: जो संख्या 84 और 36 दोनों को विभाजित करती है, वह 84 − 2 × 36 = 12 को भी विभाजित करेगी। इसलिए जोड़ी (84, 36) के उभयनिष्ठ गुणनखंड ठीक वही हैं जो जोड़ी (36, 12) के हैं, और संख्याएँ तब तक छोटी होती जाती हैं जब तक उत्तर साफ़ न दिखने लगे। जब संख्याएँ बड़ी हों, जैसे 1,071 और 462, तब यह गुणनखंड करने से तेज़ है।

गुणनफल का नियम, और उसकी सीमा

केवल दो संख्याओं के लिए: HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल।

यह क्यों काम करता है: हर अभाज्य संख्या के लिए HCF छोटी घात लेता है और LCM बड़ी। छोटी और बड़ी घात का योग दोनों घातों के योग के बराबर है, और गुणनफल में ठीक इतनी ही घात होती है।

तीन संख्याओं के लिए यह नियम टूट जाता है, क्योंकि HCF और LCM केवल सबसे छोटी और सबसे बड़ी घात लेते हैं और बीच वाली छोड़ देते हैं। 2, 4 और 8 के लिए: HCF × LCM = 2 × 8 = 16, लेकिन गुणनफल 64 है।

प्रश्न किसे माँग रहा है?

भिन्नों का HCF और LCM

• भिन्नों का HCF = अंशों का HCF ÷ हरों का LCM।
• भिन्नों का LCM = अंशों का LCM ÷ हरों का HCF।

2/3, 4/9 और 8/15 के लिए: HCF = 2/45 और LCM = 8/3। क्यों: हर भिन्न को विभाजित करने के लिए उत्तर का अंश छोटा और हर बड़ा होना चाहिए, और गुणज के लिए इसका उलटा। पहले हर भिन्न को सरलतम रूप में ले आएँ।

NTPC स्तर के हल किए गए प्रश्न

प्रश्न 1. तीन घंटियाँ 12, 18 और 30 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। वे सुबह 8:00 बजे एक साथ बजती हैं। वे अगली बार एक साथ कब बजेंगी?

12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5। LCM = 2² × 3² × 5 = 180 मिनट = 3 घंटे।
वे फिर से सुबह 11:00 बजे एक साथ बजेंगी।

प्रश्न 2. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 43, 91 और 183 को भाग देकर हर बार एक ही शेषफल छोड़ती है।

अंतर: 91 − 43 = 48, 183 − 91 = 92, 183 − 43 = 140।
48, 92 और 140 का HCF = 4।
जाँच: 43, 91 और 183 को 4 से भाग देने पर हर बार शेषफल 3 बचता है।

प्रश्न 3. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 6, 9 और 15 से भाग देने पर क्रमशः 2, 5 और 11 शेषफल बचते हैं।

अंतर देखें: 6 − 2 = 4, 9 − 5 = 4, 15 − 11 = 4। हर शेषफल अपने भाजक से 4 कम है, इसलिए संख्या किसी उभयनिष्ठ गुणज से 4 कम है।
6, 9 और 15 का LCM = 90। उत्तर: 90 − 4 = 86।
जाँच: 86 = 6 × 14 + 2 = 9 × 9 + 5 = 15 × 5 + 11।

प्रश्न 4. तीन छड़ों की लंबाई 4 मी 95 सेमी, 9 मी और 16 मी 65 सेमी है। उस पैमाने की सबसे बड़ी लंबाई ज्ञात कीजिए जो तीनों को पूरा-पूरा माप सके।

एक ही इकाई में बदलें: 495 सेमी, 900 सेमी और 1,665 सेमी।
495 = 3² × 5 × 11; 900 = 2² × 3² × 5²; 1,665 = 3² × 5 × 37।
HCF = 3² × 5 = 45 सेमी।

प्रश्न 5. दो संख्याओं का गुणनफल 2,160 है और उनका HCF 12 है। ऐसी कितनी जोड़ियाँ संभव हैं?

संख्याओं को 12a और 12b लिखें, जहाँ a और b का कोई साझा गुणनखंड नहीं है। तब 144ab = 2,160, इसलिए ab = 15।
गुणनफल 15 वाली सह-अभाज्य जोड़ियाँ: (1, 15) और (3, 5)। इसलिए 2 जोड़ियाँ: 12 और 180, या 36 और 60।

प्रश्न 6. दो संख्याओं का अनुपात 3 : 4 है और उनका LCM 180 है। उनका HCF ज्ञात कीजिए।

मान लें संख्याएँ 3x और 4x हैं, जहाँ x उनका HCF है। 3 और 4 का कोई साझा गुणनखंड नहीं है, इसलिए LCM = 12x।
12x = 180, इसलिए x = 15। संख्याएँ 45 और 60 हैं। जाँच: HCF(45, 60) = 15, LCM = 180।

आम गलतियाँ

• प्रश्न में "सबसे बड़ी" लिखा हो तब भी LCM लेना। ऐसे शब्दों का अर्थ लगभग हमेशा HCF होता है।
• HCF × LCM = गुणनफल को तीन संख्याओं पर लगाना। यह केवल दो संख्याओं के लिए सही है।
• शेषफल भूल जाना। "हर बार शेषफल 4 छोड़े" में उत्तर LCM + 4 है, केवल LCM नहीं।
• इकाइयाँ मिला देना। गुणनखंड करने से पहले मीटर और सेंटीमीटर, या घंटे और मिनट, एक इकाई में बदलें।
• असंभव आँकड़े मान लेना। अगर प्रश्न में HCF 12 और LCM 250 दिया हो, तो रुकें: 12, 250 को विभाजित नहीं करता, इसलिए ऐसी कोई जोड़ी है ही नहीं।

अभ्यास सेट

1. 12, 18 और 30 का LCM ज्ञात कीजिए।
2. 48 और 180 का HCF ज्ञात कीजिए।
3. दो संख्याओं का HCF 8 और LCM 96 है। एक संख्या 24 है। दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
4. तीन ट्रैफ़िक लाइटें हर 30, 45 और 60 सेकंड पर बदलती हैं। वे अभी एक साथ बदलीं। कितने समय बाद वे फिर एक साथ बदलेंगी?
5. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 70 और 125 को भाग देकर क्रमशः 5 और 8 शेषफल छोड़ती है।
6. 12, 15 और 18 से विभाज्य चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
7. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 8, 12 या 16 से भाग देने पर शेषफल 3 बचता है।
8. 2/3, 4/9 और 8/15 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. 180। 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5; LCM = 2² × 3² × 5।
2. 12। 180 = 3 × 48 + 36; 48 = 1 × 36 + 12; 36 = 3 × 12।
3. 32। दूसरी संख्या = 8 × 96 ÷ 24।
4. 180 सेकंड (3 मिनट)। 30, 45 और 60 का LCM।
5. 13। 70 − 5 = 65 और 125 − 8 = 117 का HCF। 65 = 5 × 13, 117 = 9 × 13।
6. 9,900। LCM = 180। 9,999 ÷ 180 से शेषफल 99 बचता है, इसलिए 9,999 − 99 = 9,900।
7. 51। 8, 12 और 16 का LCM 48 है; 48 + 3 = 51।
8. HCF 2/45, LCM 8/3। HCF(2, 4, 8) ÷ LCM(3, 9, 15) = 2/45; LCM(2, 4, 8) ÷ HCF(3, 9, 15) = 8/3।

आगे क्या करें

• "प्रश्न किसे माँग रहा है" वाली तालिका एक कार्ड पर उतारें और इस हफ़्ते हर अभ्यास से पहले उसे पढ़ें।
• NTPC के पिछले वर्षों के प्रश्नपत्रों (previous-year papers) से LCM–HCF के 25 प्रश्न टाइमर के साथ हल करें, हर एक के लिए 45 सेकंड का लक्ष्य रखें।
• अगर गुणनखंड करने में समय लगता है, तो संख्या पद्धति वाली गाइड में अभाज्य गुणनखंड दोहराएँ।
• इसके बाद समय और कार्य पर जाएँ, जहाँ ज़्यादातर काम LCM विधि ही करती है।