SSC GD के लिए LCM और HCF (लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक)

LCM और HCF के प्रश्न छोटे होते हैं, और इनमें से ज़्यादातर एक मिनट से कम में हो जाते हैं। कठिन हिस्सा गणना नहीं है। कठिन यह है कि शाब्दिक प्रश्न (word problem) पढ़कर तय करें कि उसमें दोनों में से कौन-सा चाहिए। प्रश्नों के कुछ प्रकार पहचान लें, तो यह फ़ैसला अपने-आप होने लगता है।

यह टॉपिक दूसरे अध्यायों में भी काम आता है। भिन्न जोड़ने में और समय और कार्य में "कुल काम" वाली विधि बनाने में LCM लगता है, और भिन्नों व अनुपातों को सरल करने में HCF। इसलिए यहाँ लगाया गया एक हफ़्ता आगे बहुत काम आता है।

दोनों शब्दों का अर्थ

HCF (Highest Common Factor) यानी महत्तम समापवर्तक वह सबसे बड़ी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं को पूरा-पूरा भाग दे। इसे GCD (greatest common divisor) भी कहते हैं।

LCM (Lowest Common Multiple) यानी लघुत्तम समापवर्त्य वह सबसे छोटी संख्या है जिसे दी गई सभी संख्याएँ पूरा-पूरा भाग दें।

12 और 18 लें। 12 के गुणनखंड (factors) हैं 1, 2, 3, 4, 6, 12, और 18 के हैं 1, 2, 3, 6, 9, 18। सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड 6 है, इसलिए HCF = 6। 12 के गुणज (multiples) हैं 12, 24, 36, 48… और 18 के हैं 18, 36, 54… पहला उभयनिष्ठ गुणज 36 है, इसलिए LCM = 36।

विधि 1: अभाज्य गुणनखंड

हर संख्या को अभाज्य गुणनखंडों (prime factorisation) में तोड़ें, फिर:

• HCF = सभी में उभयनिष्ठ अभाज्य संख्याओं का गुणनफल, हर एक उतनी बार जितनी सबसे कम बार वह आती है।
• LCM = आने वाली हर अभाज्य संख्या का गुणनफल, हर एक उतनी बार जितनी सबसे अधिक बार वह आती है।

24 और 36 के लिए: 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3 और 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²।

• HCF = 2² × 3 = 12।
• LCM = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72।

विधि 2: भाग विधि

बार-बार भाग देकर HCF। बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दें। फिर पिछले भाजक को शेषफल से भाग दें। यह तब तक करते रहें जब तक शेषफल 0 न हो जाए। आख़िरी भाजक ही HCF है। दो बड़ी संख्याओं के लिए यह तरीका तेज़ है।

सीढ़ी विधि से LCM। संख्याओं को एक पंक्ति में लिखें और ऐसी अभाज्य संख्या से भाग देते रहें जो कम-से-कम दो संख्याओं को भाग दे। जो संख्या विभाज्य न हो, उसे वैसे ही नीचे उतार दें। 12, 15 और 20 के लिए:

LCM = 2 × 2 × 3 × 5 = 60।

गुणनफल का नियम

केवल दो संख्याओं के लिए: HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या।

यह तीन संख्याओं के लिए काम नहीं करता। इसे तभी लगाएँ जब प्रश्न में ठीक दो संख्याएँ दी हों।

छह आम शाब्दिक प्रश्न

हल किए हुए उदाहरण

उदाहरण 1. 84 और 126 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

1. भाग विधि से HCF: 126 ÷ 84 = 1, शेषफल 42।
2. अब 84 ÷ 42 = 2, शेषफल 0। इसलिए HCF = 42।
3. गुणनफल के नियम से LCM: 84 × 126 ÷ 42 = 2 × 126 = 252।
4. जाँच: 252 ÷ 84 = 3 और 252 ÷ 126 = 2।

उदाहरण 2. दो संख्याओं का HCF 6 और LCM 180 है। एक संख्या 36 है। दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

1. HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल।
2. 6 × 180 = 36 × दूसरी संख्या, यानी 1,080 = 36 × दूसरी संख्या।
3. दूसरी संख्या = 1,080 ÷ 36 = 30।
4. जाँच: HCF(36, 30) = 6 और LCM(36, 30) = 180।

उदाहरण 3. तीन घंटियाँ हर 6, 8 और 12 मिनट पर बजती हैं। वे सुबह 8:00 बजे एक साथ बजती हैं। वे अगली बार एक साथ कब बजेंगी, और सुबह 8:00 से 10:00 बजे तक (दोनों समय शामिल) वे कितनी बार एक साथ बजेंगी?

1. LCM(6, 8, 12) = 24 मिनट, इसलिए अगली बार सुबह 8:24 बजे।
2. दो घंटे = 120 मिनट, और 120 ÷ 24 = 5 अंतराल।
3. 8:00 बजे वाली बार को भी गिनें: 5 + 1 = 6 बार।

उदाहरण 4. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 12, 15 या 20 से भाग देने पर शेषफल 5 बचे।

1. LCM(12, 15, 20) = 60 (ऊपर की सीढ़ी विधि से)।
2. शेषफल जोड़ें: 60 + 5 = 65।
3. जाँच: 65 = 12 × 5 + 5 = 15 × 4 + 5 = 20 × 3 + 5।

उदाहरण 5. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 70 और 94 को भाग देने पर हर बार शेषफल 4 छोड़े।

1. शेषफल हटाएँ: 70 − 4 = 66 और 94 − 4 = 90।
2. HCF(66, 90): 66 = 2 × 3 × 11 और 90 = 2 × 3² × 5, इसलिए HCF = 2 × 3 = 6।
3. जाँच: 70 = 6 × 11 + 4 और 94 = 6 × 15 + 4।

उदाहरण 6. एक फ़र्श 6 मी 24 सेमी लंबा और 4 मी 32 सेमी चौड़ा है। इस पर एक जैसी वर्गाकार टाइलें लगानी हैं, कोई टाइल काटी नहीं जाएगी। सबसे बड़ी टाइल का आकार और टाइलों की संख्या ज्ञात कीजिए।

1. एक ही इकाई में बदलें: 624 सेमी और 432 सेमी।
2. 624 = 2⁴ × 3 × 13 और 432 = 2⁴ × 3³, इसलिए HCF = 2⁴ × 3 = 48 सेमी।
3. टाइलें = (624 ÷ 48) × (432 ÷ 48) = 13 × 9 = 117 टाइलें।

आम गलतियाँ

अभ्यास सेट

1. 36, 54 और 90 का HCF ज्ञात कीजिए।
2. 8, 12 और 18 का LCM ज्ञात कीजिए।
3. दो संख्याओं का HCF 8 और LCM 96 है। एक संख्या 24 है। दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
4. दो बत्तियाँ हर 18 और 24 सेकंड पर जलती-बुझती हैं। अभी वे एक साथ जलीं। कितने सेकंड बाद वे फिर एक साथ जलेंगी?
5. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 60, 84 और 108 को पूरा-पूरा भाग दे।
6. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 6, 9 या 15 से भाग देने पर शेषफल 2 बचे।
7. 12, 15 और 20 से विभाज्य चार अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।
8. दो संख्याएँ 3 : 4 के अनुपात में हैं और उनका HCF 5 है। उनका LCM ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. 36 = 2² × 3², 54 = 2 × 3³, 90 = 2 × 3² × 5। उभयनिष्ठ: 2 × 3² = 18।
2. 8 = 2³, 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²। LCM = 2³ × 3² = 72।
3. 8 × 96 ÷ 24 = 32। जाँच: HCF(24, 32) = 8, LCM = 96।
4. LCM(18, 24) = 72 सेकंड।
5. HCF(60, 84, 108) = 12।
6. LCM(6, 9, 15) = 90; 90 + 2 = 92।
7. LCM = 60। 1,000 ÷ 60 = 16, शेषफल 40। 60 − 40 = 20 जोड़ें, तो 1,020।
8. संख्याएँ हैं 3 × 5 = 15 और 4 × 5 = 20। LCM(15, 20) = 60।

आगे क्या करें

• छह पंक्तियों वाली शाब्दिक प्रश्नों की तालिका बिना देखे लिखें, फिर जाँचें।
• संख्याओं के 10 जोड़ों का HCF और LCM दोनों विधियों से निकालें।
• अगर गुणनखंड करने में देर लगती है, तो हमारी संख्या पद्धति वाली गाइड से गुणनखंड और अभाज्य संख्याएँ दोहराएँ।
• भिन्न और दशमलव में भिन्न जोड़ने के लिए LCM का प्रयोग करें, और समय और कार्य में इकाई विधि (units method) बनाने के लिए भी।