इस गाइड में
SSC GD गणित में संख्या वाले प्रश्न सबसे जल्दी होने वाले प्रश्नों में से हैं। इनमें लंबी गणना कम ही होती है। ये जाँचते हैं कि आपको कुछ नियम आते हैं या नहीं: कौन-सी संख्या अभाज्य है, स्थानीय मान कैसे काम करता है, बिना भाग दिए विभाज्यता कैसे जाँचें, और इकाई के अंक कैसे दोहराते हैं।
ये नियम एक बार सीख लें, एक हफ़्ता अभ्यास करें, और आप संख्या वाले ज़्यादातर प्रश्न 20–30 सेकंड में हल कर लेंगे। इससे खंड के बाद वाले लंबे अंकगणित के प्रश्नों के लिए समय बचता है।
संख्याओं के प्रकार
इस पूरे टॉपिक को संख्या पद्धति (number system) कहते हैं। पहले संख्याओं के प्रकार:
| प्रकार | अर्थ | उदाहरण |
|---|---|---|
| प्राकृत संख्याएँ (natural numbers) | गिनती की संख्याएँ | 1, 2, 3, 4… |
| पूर्ण संख्याएँ (whole numbers) | प्राकृत संख्याएँ और 0 | 0, 1, 2, 3… |
| पूर्णांक (integers) | पूर्ण संख्याएँ और उनकी ऋणात्मक संख्याएँ | …, −2, −1, 0, 1, 2… |
| सम संख्याएँ (even numbers) | 2 से विभाज्य | 2, 4, 6, 8… |
| विषम संख्याएँ (odd numbers) | 2 से विभाज्य नहीं | 1, 3, 5, 7… |
| अभाज्य संख्याएँ (prime numbers) | ठीक दो गुणनखंड (factors), 1 और वह संख्या स्वयं | 2, 3, 5, 7, 11, 13… |
| भाज्य संख्याएँ (composite numbers) | दो से अधिक गुणनखंड | 4, 6, 8, 9, 10… |
50 से छोटी अभाज्य संख्याएँ हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47। खुद को जाँचने के लिए इन्हें एक बार बिना देखे लिखें।
स्थानीय मान और जातीय मान
45,678 में:
- 5 का जातीय मान (face value) केवल 5 है (कुछ किताबें इसे अंकित मान कहती हैं);
- 5 का स्थानीय मान (place value) 5,000 है, क्योंकि यह हज़ार के स्थान पर है।
एक आम प्रश्न इन दोनों का अंतर पूछता है। 45,678 में 5 के लिए: 5,000 − 5 = 4,995।
विभाज्यता के नियम
| किससे विभाज्य | नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| 2 | इकाई का अंक सम हो | 348 |
| 3 | अंकों का योग 3 से विभाज्य हो | 471 (4 + 7 + 1 = 12) |
| 4 | आख़िरी दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो | 1,316 (16) |
| 5 | इकाई का अंक 0 या 5 हो | 785 |
| 6 | 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो | 132 |
| 8 | आख़िरी तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो | 5,120 (120 = 8 × 15) |
| 9 | अंकों का योग 9 से विभाज्य हो | 729 (7 + 2 + 9 = 18) |
| 10 | इकाई का अंक 0 हो | 450 |
| 11 | एकांतर स्थानों के अंकों के योगों का अंतर 0 या 11 का गुणज हो | 2,871 (2 + 7 = 9; 8 + 1 = 9) |
मिले-जुले नियम। 72 या 12 जैसी संख्या से विभाज्यता जाँचने के लिए उसे ऐसी दो संख्याओं में तोड़ें जिनका कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो, और दोनों से जाँचें। 72 = 8 × 9, 12 = 3 × 4, 15 = 3 × 5। 12 को 2 × 6 में न तोड़ें: 2 और 6 में 2 उभयनिष्ठ गुणनखंड है, इसलिए यह जाँच गलत नतीजा देती है (जैसे 18 दोनों जाँचों में पास हो जाता है, पर 12 से विभाज्य नहीं है)।
सबसे छोटे और सबसे बड़े गुणज
n अंकों का सबसे छोटा गुणज निकालने का तरीका: n अंकों की सबसे छोटी संख्या को भाजक (divisor) से भाग दें, फिर उसमें (भाजक − शेषफल) जोड़ दें।
n अंकों का सबसे बड़ा गुणज निकालने का तरीका: n अंकों की सबसे बड़ी संख्या को भाजक से भाग दें, फिर उसमें से शेषफल (remainder) घटा दें।
घातों के इकाई अंक
घातों का इकाई अंक एक चक्र में दोहराता है।
| आधार का आख़िरी अंक | इकाई अंकों का चक्र | लंबाई |
|---|---|---|
| 2 | 2, 4, 8, 6 | 4 |
| 3 | 3, 9, 7, 1 | 4 |
| 7 | 7, 9, 3, 1 | 4 |
| 8 | 8, 4, 2, 6 | 4 |
| 4 | 4, 6 | 2 |
| 9 | 9, 1 | 2 |
| 0, 1, 5, 6 | हमेशा वही अंक | 1 |
घात को चक्र की लंबाई से भाग दें। शेषफल बताता है कि चक्र में कौन-सा स्थान है। शेषफल 0 का अर्थ है आख़िरी स्थान।
काम के योग
- पहली n प्राकृत संख्याओं का योग = n(n + 1) ÷ 2। n = 10 के लिए: 10 × 11 ÷ 2 = 55।
- पहली n विषम संख्याओं का योग = n²। n = 5 के लिए: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²।
हल किए हुए उदाहरण
उदाहरण 1. क्या 7,32,456 संख्या 72 से विभाज्य है?
- 72 = 8 × 9, और 8 व 9 का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
- 8 से जाँच: आख़िरी तीन अंक 456 = 8 × 57। हाँ।
- 9 से जाँच: 7 + 3 + 2 + 4 + 5 + 6 = 27, और 27, 9 से विभाज्य है। हाँ।
- दोनों जाँचें पास हैं, इसलिए हाँ। (7,32,456 = 72 × 10,173।)
उदाहरण 2. 12 से विभाज्य चार अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।
- चार अंकों की सबसे छोटी संख्या 1,000 है।
- 1,000 ÷ 12 = 83, शेषफल 4।
- 12 − 4 = 8 जोड़ें। उत्तर: 1,008 (12 × 84 = 1,008)।
उदाहरण 3. 15 से विभाज्य चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
- चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9,999 है।
- 9,999 ÷ 15 = 666, शेषफल 9 (15 × 666 = 9,990)।
- शेषफल घटाएँ: 9,999 − 9 = 9,990।
उदाहरण 4. संख्या 53k6, 9 से विभाज्य है, जहाँ k एक अंक है। k ज्ञात कीजिए।
- अंकों का योग = 5 + 3 + k + 6 = 14 + k।
- 14 के बाद 9 का अगला गुणज 18 है, इसलिए 14 + k = 18।
- k = 4। (उसके बाद वाले गुणज 27 के लिए k = 13 चाहिए, जो एक अंक नहीं है।) जाँच: 5,346 = 9 × 594।
उदाहरण 5. 7²³ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।
- 7 का चक्र 7, 9, 3, 1 है (लंबाई 4)।
- 23 ÷ 4 = 5, शेषफल 3।
- चक्र का तीसरा अंक 3 है।
उदाहरण 6. किसी संख्या को 6 से भाग देने पर शेषफल 4 आता है। उसे 3 से भाग देने पर शेषफल क्या आएगा?
- संख्या को 6q + 4 के रूप में लिखा जा सकता है।
- 6q, 3 से विभाज्य है, इसलिए केवल 4 मायने रखता है।
- 4 ÷ 3 का शेषफल 1 है। 10 से जाँचें: 10 ÷ 6 का शेषफल 4 है, और 10 ÷ 3 का शेषफल 1 है।
आम गलतियाँ
| गलती | सही बात |
|---|---|
| 1 को अभाज्य मानना | 1 का केवल एक गुणनखंड है, इसलिए यह न अभाज्य है, न भाज्य |
| हर विषम संख्या को अभाज्य मानना | 9, 15, 21 और 27 विषम हैं पर भाज्य हैं |
| 12 की जाँच 2 × 6 से करना | 3 × 4 लें; दोनों भागों का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होना चाहिए |
| इकाई अंक के चक्र में शेषफल 0 को "पहला" स्थान मानना | शेषफल 0 का अर्थ है चक्र का आख़िरी अंक |
अभ्यास सेट
- सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन-सी है?
- 37,425 में 7 के स्थानीय मान और जातीय मान का अंतर ज्ञात कीजिए।
- क्या 5,432 संख्या 8 से विभाज्य है?
- 9 से विभाज्य चार अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।
- 7 से विभाज्य तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
- 4k32, 11 से विभाज्य है, जहाँ k एक अंक है। k ज्ञात कीजिए।
- 3¹⁰ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।
- पहली 12 विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
- 2।
- 7,000 − 7 = 6,993।
- आख़िरी तीन अंक 432 = 8 × 54, इसलिए हाँ।
- 1,000 ÷ 9 = 111, शेषफल 1; 8 जोड़ें → 1,008।
- 999 ÷ 7 = 142, शेषफल 5; 999 − 5 = 994।
- दाईं ओर से विषम स्थानों के अंक: 2 + k; सम स्थानों के अंक: 3 + 4 = 7। अंतर 0 होने के लिए k = 5। जाँच: 4,532 = 11 × 412।
- चक्र 3, 9, 7, 1; 10 ÷ 4 का शेषफल 2; दूसरा अंक 9 है (3¹⁰ = 59,049)।
- 12² = 144।
आगे क्या करें
- विभाज्यता की तालिका बिना देखे लिखें, फिर जाँचें।
- 2, 3, 7 और 8 के इकाई अंकों के चक्र याद करें।
- संख्या के 20 मिले-जुले प्रश्न 10 मिनट में हल करें।
- इसके बाद लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) पर जाएँ, जो गुणनखंडों और अभाज्य संख्याओं पर टिका है, और फिर वर्ग और वर्गमूल पढ़ें।
तारीख़ों और आँकड़ों पर एक बात। परीक्षा का पैटर्न, रिक्तियाँ और कार्यक्रम हर साल बदल सकते हैं। ताज़ा जानकारी हमेशा Staff Selection Commission की वेबसाइट पर जारी नवीनतम अधिसूचना में देखें।
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