RRB NTPC के लिए ज्यामिति: मुख्य तथ्य, विधियाँ और अभ्यास

RRB NTPC में ज्यामिति (geometry) के प्रश्न आमतौर पर एक बार में एक तथ्य जाँचते हैं। अगर आप तथ्य जानते हैं, तो प्रश्न कुछ सेकंड का है; अगर नहीं जानते, तो कितनी भी गणना आपको नहीं बचा पाएगी। इसलिए यह अध्याय कुछ चुने हुए तथ्यों को ठीक से जानने के बारे में है, जिसमें यह भी शामिल है कि वे सही क्यों हैं, क्योंकि यही "क्यों" दबाव में उन्हें याद करने में मदद करता है।

यहाँ सब कुछ कक्षा 9–10 के स्तर का है। लंबाई और क्षेत्रफल अगले अध्याय, क्षेत्रमिति, में हैं।

रेखाएँ और कोण

• एक सरल रेखा पर बने कोणों का योग 180° होता है; एक बिंदु के चारों ओर के कोणों का योग 360° होता है।
• पूरक (complementary) कोणों का योग 90° होता है; संपूरक (supplementary) कोणों का योग 180° होता है।
• शीर्षाभिमुख कोण (vertically opposite angles) बराबर होते हैं।
• दो समांतर रेखाएँ और एक तिर्यक रेखा (transversal) हों, तो: एकांतर (alternate) कोण बराबर होते हैं, संगत (corresponding) कोण बराबर होते हैं, और अंतः एक ही ओर के (co-interior) कोणों का योग 180° होता है।

त्रिभुज

• तीनों कोणों का योग 180° होता है।
• बहिष्कोण (exterior angle) दोनों अंतःअभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है। क्यों: बहिष्कोण और उसके पास का अंतःकोण मिलकर 180° बनाते हैं, और तीनों अंतःकोण भी मिलकर 180° बनाते हैं। दोनों में से साझा कोण हटा दें, तो जो बचता है वह बराबर है।
• किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
• सबसे बड़ा कोण सबसे लंबी भुजा के सामने होता है।

पाइथागोरस और त्रिक

समकोण त्रिभुज में कर्ण² = आधार² + लंब²। त्रिक (triplets) आपको वर्गमूल निकालने से बचाते हैं:

विशेष बिंदु और समरूपता

चतुर्भुज और बहुभुज

• किसी भी चतुर्भुज के कोणों का योग 360° होता है।
• n भुजाओं वाले बहुभुज (polygon) के अंतःकोणों का योग = (n − 2) × 180°। क्यों: एक कोने से विकर्ण खींचकर बहुभुज को (n − 2) त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है, और हर त्रिभुज में 180° होते हैं।
• किसी भी उत्तल बहुभुज के बहिष्कोणों का योग = 360°, इसलिए n भुजाओं वाले सम बहुभुज का हर बहिष्कोण = 360° ÷ n।
• हर कोने पर अंतःकोण + बहिष्कोण = 180°।

वृत्त

• अर्धवृत्त में बना कोण 90° होता है।
• एक ही चाप द्वारा केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है।
• एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं।
• चक्रीय चतुर्भुज (cyclic quadrilateral) में सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
• केंद्र से जीवा (chord) पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इसलिए (आधी जीवा)² + दूरी² = त्रिज्या²।
• स्पर्श रेखा (tangent) स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है, और किसी बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ लंबाई में बराबर होती हैं। इसलिए स्पर्श रेखा² = (केंद्र से दूरी)² − त्रिज्या²।

स्पर्श रेखा वाला सूत्र क्यों काम करता है: त्रिज्या, स्पर्श रेखा और केंद्र तक की रेखा मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं, जिसका समकोण स्पर्श बिंदु पर होता है। बाकी काम पाइथागोरस कर देता है।

NTPC स्तर के हल किए गए प्रश्न

प्रश्न 1. एक त्रिभुज के कोण 2 : 3 : 4 के अनुपात में हैं। कोण ज्ञात कीजिए।

2x + 3x + 4x = 180, इसलिए x = 20। कोण: 40°, 60° और 80°।

प्रश्न 2. एक त्रिभुज का बहिष्कोण 110° है, और एक अंतःअभिमुख कोण 45° है। दूसरा अंतःअभिमुख कोण ज्ञात कीजिए।

110 − 45 = 65°।

प्रश्न 3. एक सम बहुभुज का हर बहिष्कोण 24° है। उसकी कितनी भुजाएँ हैं?

360 ÷ 24 = 15 भुजाएँ।

प्रश्न 4. एक बिंदु 5 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 13 cm दूर है। उस बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

स्पर्श रेखा² = 169 − 25 = 144। स्पर्श रेखा = 12 cm (5-12-13 त्रिक)।

प्रश्न 5. 10 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 16 cm लंबी जीवा खींची गई है। वह केंद्र से कितनी दूर है?

आधी जीवा = 8। दूरी² = 100 − 64 = 36। दूरी = 6 cm।

प्रश्न 6. चक्रीय चतुर्भुज ABCD में ∠A = 70° और ∠B = 95° है। ∠C और ∠D ज्ञात कीजिए।

सम्मुख कोणों का योग 180° होता है: ∠C = 110° और ∠D = 85°।

आम गलतियाँ

• बहिष्कोणों के लिए (n − 2) × 180 लगाना। बहिष्कोणों का योग हमेशा 360° होता है।
• स्पर्श रेखा पर समकोण भूल जाना। स्पर्श रेखा का लगभग हर प्रश्न भीतर से पाइथागोरस का प्रश्न होता है।
• पाइथागोरस में पूरी जीवा लेना। पहले उसे आधा करें।
• पूरक (90°) और संपूरक (180°) में उलझना।
• समरूप त्रिभुजों में भुजाओं के अनुपात को ही क्षेत्रफल का अनुपात मान लेना। उसका वर्ग करें।

अभ्यास सेट

1. एक त्रिभुज के दो कोण 45° और 75° हैं। तीसरा कोण ज्ञात कीजिए।
2. एक समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ 5 cm और 12 cm हैं। कर्ण ज्ञात कीजिए।
3. सम अष्टभुज का हर अंतःकोण ज्ञात कीजिए।
4. एक सम बहुभुज का हर अंतःकोण 140° है। उसकी कितनी भुजाएँ हैं?
5. एक बिंदु 6 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 10 cm दूर है। स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
6. 13 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 24 cm लंबी जीवा खींची गई है। वह केंद्र से कितनी दूर है?
7. एक समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ 9 cm और 12 cm हैं। उसकी परित्रिज्या ज्ञात कीजिए।
8. एक त्रिभुज की माध्यिका 12 cm लंबी है। उस माध्यिका पर केंद्रक शीर्ष से कितनी दूर है?

उत्तर:

1. 60°। 180 − 120।
2. 13 cm। 5-12-13 त्रिक।
3. 135°। 1,080 ÷ 8।
4. 9 भुजाएँ। बहिष्कोण = 40°; 360 ÷ 40।
5. 8 cm। 100 − 36 = 64।
6. 5 cm। आधी जीवा 12; 169 − 144 = 25।
7. 7.5 cm। कर्ण 15 (9-12-15); उसका आधा।
8. 8 cm। केंद्रक माध्यिका को 2 : 1 में बाँटता है, इसलिए 12 का 2/3।

आगे क्या करें

• त्रिक वाली तालिका और बहुभुज वाली तालिका याद से तब तक लिखें, जब तक दोनों लगातार दो बार सही न आ जाएँ।
• ज्यामिति के 25 मिले-जुले प्रश्न हल करें और हर प्रश्न के आगे लिखें कि उसमें कौन-सा एक तथ्य लगा।
• वृत्त के हर प्रश्न के लिए एक कच्चा चित्र बनाएँ, और स्पर्श रेखाओं पर तथा जीवा के मध्य-बिंदुओं पर समकोण चिह्नित करें।
• आगे क्षेत्रमिति और त्रिकोणमिति पढ़ें, जो इन्हीं त्रिभुजों पर आधारित हैं।