RRB NTPC के लिए त्रिकोणमिति: मान, सर्वसमिकाएँ और ऊँचाई-दूरी

RRB NTPC में त्रिकोणमिति (trigonometry) के प्रश्न ज़्यादातर जल्दी हो जाते हैं। अगर आप मानक मान और तीन सर्वसमिकाएँ जानते हैं, तो उनमें से अधिकांश में बस मान रखने होते हैं। बाकी ऊँचाई और दूरी के प्रश्न होते हैं, जो असल में ज्यामिति के समकोण त्रिभुज वाले प्रश्न ही हैं, बस भुजा की जगह कोण दिया होता है।

पूरा अध्याय एक समकोण त्रिभुज पर टिका है। वह चित्र मन में रखें, तो सूत्र रटने वाली सूची नहीं रह जाते।

छह अनुपात

समकोण त्रिभुज में, किसी कोण θ (समकोण नहीं) के लिए:

साथ ही, tan θ = sin θ ÷ cos θ, क्योंकि कर्ण कट जाता है।

मानक मान

ये मान क्यों: 45° वाले समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली दोनों भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए भुजाएँ 1 और 1 हों तो कर्ण √2 होता है और sin 45° = 1/√2। भुजा 2 वाले समबाहु त्रिभुज को आधा काटने पर 1, √3 और 2 भुजाओं वाला 30-60-90 त्रिभुज मिलता है, जिससे 30° और 60° के सारे मान निकल आते हैं।

तीन सर्वसमिकाएँ

• sin²θ + cos²θ = 1
• sec²θ − tan²θ = 1
• cosec²θ − cot²θ = 1

क्यों: पाइथागोरस से, लंब² + आधार² = कर्ण²। हर पद को कर्ण² से भाग दें, तो पहली सर्वसमिका मिलती है। आधार² से भाग दें, तो दूसरी; लंब² से, तो तीसरी।

एक उपयोगी परिणाम: क्योंकि sec²θ − tan²θ = (sec θ + tan θ)(sec θ − tan θ) = 1, दोनों कोष्ठक एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं। एक दिया हो, तो दूसरा 1 को उससे भाग देने पर मिलता है। यही बात cosec θ + cot θ और cosec θ − cot θ पर भी लागू होती है।

पूरक कोण

• sin (90° − θ) = cos θ, और cos (90° − θ) = sin θ
• tan (90° − θ) = cot θ
• sec (90° − θ) = cosec θ

क्यों: समकोण त्रिभुज में दोनों न्यून कोणों का योग 90° होता है। एक कोण के सामने की भुजा दूसरे कोण से सटी होती है, इसलिए एक का sin दूसरे का cos होता है।

इसलिए sin 30° = cos 60°, और tan 20° × tan 70° = tan 20° × cot 20° = 1। जब कोई प्रश्न ऐसे कोण जोड़े में दे जिनका योग 90° हो, तो यही खोजें।

एक अनुपात से बाकी निकालना

अगर एक अनुपात भिन्न के रूप में दिया हो, तो त्रिभुज बनाएँ, पाइथागोरस से तीसरी भुजा निकालें (अक्सर कोई त्रिक) और बाकी सब पढ़ लें। sin θ = 3/5 हो, तो भुजाएँ 3 और 5 हैं, तीसरी 4।

ऊँचाई और दूरी

• उन्नयन कोण (angle of elevation): क्षैतिज से ऊपर की किसी वस्तु की ओर ऊपर देखना।
• अवनमन कोण (angle of depression): क्षैतिज से नीचे की किसी वस्तु की ओर नीचे देखना। यह नीचे वाले बिंदु से बने उन्नयन कोण के बराबर होता है, क्योंकि दोनों क्षैतिज रेखाएँ समांतर होती हैं।

जब प्रश्न ऊँचाई और क्षैतिज दूरी दे, तो tan लगाएँ। यह ठीक इन्हीं दो भुजाओं को जोड़ता है।

NTPC स्तर के हल किए गए प्रश्न

प्रश्न 1. sin²30° + cos²60° + tan²45° ज्ञात कीजिए।

1/4 + 1/4 + 1 = 3/2।

प्रश्न 2. अगर sin θ = 3/5, तो cos θ और tan θ ज्ञात कीजिए।

लंब 3, कर्ण 5, इसलिए आधार 4।
cos θ = 4/5; tan θ = 3/4।

प्रश्न 3. sin 35° ÷ cos 55° + tan 10° × tan 80° ज्ञात कीजिए।

cos 55° = sin 35°, इसलिए पहला पद 1 है। tan 80° = cot 10°, इसलिए दूसरा पद 1 है।
कुल = 2।

प्रश्न 4. अगर sec θ + tan θ = 2, तो sec θ − tan θ और sec θ ज्ञात कीजिए।

sec θ − tan θ = 1 ÷ 2 = 1/2।
दोनों समीकरण जोड़ने पर: 2 sec θ = 5/2, इसलिए sec θ = 5/4।

प्रश्न 5. 6 m ऊँचे खंभे की छाया 2√3 m लंबी है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।

tan θ = 6 ÷ 2√3 = √3, इसलिए θ = 60°।

प्रश्न 6. ज़मीन के एक बिंदु से एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ओर 20 m चलने के बाद यह 60° हो जाता है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए ऊँचाई h और अंतिम दूरी x है। तब h = x√3, और h = (x + 20)/√3।
इसलिए 3x = x + 20, जिससे x = 10। ऊँचाई = 10√3 m, लगभग 17.3 m।

आम गलतियाँ

• sin और cos के 30° और 60° वाले मान आपस में बदल देना।
• क्षैतिज दूरी दी हो, तब sin लगाना। ऊँचाई और आधार हों, तो tan।
• tan 90° को कोई संख्या मानना। यह परिभाषित नहीं है।
• यह भूल जाना कि पूरक जोड़ों का योग ठीक 90° होना चाहिए। sin 40° और cos 40° बराबर नहीं हैं।
• कोण का वर्ग कर देना। sin²θ का अर्थ (sin θ)² है, sin (θ²) नहीं।

अभ्यास सेट

1. sin 60° × cos 30° ज्ञात कीजिए।
2. tan 60° ÷ tan 30° ज्ञात कीजिए।
3. अगर cos θ = 5/13, तो sin θ ज्ञात कीजिए।
4. एक इमारत के आधार से 25 m दूर के बिंदु से उसके शिखर का उन्नयन कोण 45° है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
5. sec²θ − tan²θ ज्ञात कीजिए।
6. अगर cosec θ − cot θ = 1/3, तो cosec θ + cot θ ज्ञात कीजिए।
7. एक सीढ़ी ज़मीन के साथ 60° का कोण बनाती है, और उसका निचला सिरा दीवार से 4 m दूर है। सीढ़ी की लंबाई ज्ञात कीजिए।
8. (1 − sin²θ) × sec²θ को सरल कीजिए।

उत्तर:

1. 3/4। √3/2 × √3/2।
2. 3। √3 ÷ (1/√3)।
3. 12/13। 5-12-13 त्रिक।
4. 25 m। tan 45° = 1।
5. 1। सर्वसमिका।
6. 3। दोनों व्यंजक एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं।
7. 8 m। cos 60° = 4 ÷ L, इसलिए L = 4 ÷ 1/2।
8. 1। 1 − sin²θ = cos²θ, और cos²θ × sec²θ = 1।

आगे क्या करें

• इस सप्ताह हर दिन मानों की तालिका याद से लिखें, फिर जाँचने के लिए उसे दोनों त्रिभुजों से बनाएँ।
• सर्वसमिका और पूरक कोण वाले 15 प्रश्न हल करें, और पहले 90° वाले जोड़े पहचानें।
• ऊँचाई और दूरी वाले 10 प्रश्नों के लिए चित्र बनाएँ, और समकोण तथा दिया गया कोण चिह्नित करें।
• गणित का पाठ्यक्रम पूरा करने के लिए आँकड़ों का विश्लेषण पढ़ें।