इस गाइड में
RRB NTPC के गणित के पाठ्यक्रम (syllabus) में प्रारंभिक सांख्यिकी (elementary statistics) शामिल है, और प्रश्नपत्रों में कभी-कभी एक छोटी तालिका या चार्ट पर कुछ प्रश्न आते हैं। ये प्रश्न दो बातें जाँचते हैं: परिभाषाएँ ठीक-ठीक जानना, और आँकड़े ध्यान से पढ़ना। इनमें अंकगणित आमतौर पर प्रतिशत, अनुपात और औसत का होता है, जो आप पहले से जानते हैं।
यहाँ जो अंक कटते हैं, वे ज़्यादातर गलत पढ़ने से कटते हैं, कठिन गणित से नहीं। इसलिए यह मार्गदर्शिका आपको सूत्रों के साथ-साथ आँकड़ों का विश्लेषण (data interpretation, DI) करते समय पढ़ने का एक तरीका भी देती है।
माध्य, माध्यिका, बहुलक और परिसर
| माप | अर्थ | कैसे निकालें |
|---|---|---|
| माध्य (mean) | औसत | योग ÷ मानों की संख्या |
| माध्यिका (median) | बीच का मान | क्रम में लगाएँ; बीच का मान लें, या सम संख्या होने पर बीच के दो मानों का माध्य लें |
| बहुलक (mode) | सबसे अधिक बार आने वाला मान | वह मान जो सबसे अधिक बार आता है |
| परिसर (range) | फैलाव | सबसे बड़ा − सबसे छोटा |
माध्यिका के लिए क्रम में लगाना क्यों ज़रूरी है: इसकी परिभाषा क्रम में स्थान से होती है। जैसे लिखा है वैसे तीसरी संख्या का कोई अर्थ नहीं; क्रम में लगाने के बाद की तीसरी संख्या बीच वाली है।
क्रम में लगे n मानों में माध्यिका (n + 1) ÷ 2 वें स्थान पर होती है। n = 5 के लिए यह तीसरा मान है; n = 6 के लिए यह तीसरे और चौथे के बीच आती है, इसलिए उन दोनों का औसत लें।
बारंबारता तालिका से माध्य
जब मान दोहराए जाते हैं, तो हर मान को उसकी बारंबारता (frequency) से गुणा करें, जोड़ें, और कुल बारंबारता से भाग दें।
| अंक (x) | 10 | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| विद्यार्थी (f) | 2 | 3 | 4 | 1 |
माध्य = (20 + 60 + 120 + 40) ÷ 10 = 240 ÷ 10 = 24।
माध्यिका: 10 मान हैं, इसलिए 5वें और 6ठे का औसत लें। संचयी योग 2, 5, 9, 10 हैं, इसलिए 5वाँ मान 20 और 6ठा 30 है। माध्यिका = 25।
बहुलक = 30 (सबसे अधिक बारंबारता)।
भारित माध्य: समूहों को मिलाना
दो समूहों का संयुक्त माध्य उनके माध्यों का औसत नहीं होता, जब तक दोनों समूह बराबर आकार के न हों।
संयुक्त माध्य = (n₁ × माध्य₁ + n₂ × माध्य₂) ÷ (n₁ + n₂)।
क्यों: माध्य एक कुल योग है जो सब पर बराबर बाँटा गया है। हर समूह का कुल योग दोबारा बनाएँ, उन्हें जोड़ें, और संयुक्त योग को सब पर बाँटें।
तालिका या चार्ट पढ़ना: एक तरीका
- शीर्षक और इकाइयाँ पढ़ें (संख्या, हज़ार, लाख, प्रतिशत)।
- प्रश्न पढ़ें और उन पंक्तियों, स्तंभों और वर्षों को रेखांकित करें जिनके बारे में पूछा गया है।
- केवल ज़रूरी संख्याएँ निकालें, और उन्हें लिख लें।
- गणना करें, फिर विकल्पों से मिलाएँ। अगर विकल्प दूर-दूर हैं, तो पहले अनुमान लगाएँ।
प्रतिशत परिवर्तन = (नया − पुराना) ÷ पुराना × 100। आधार हमेशा पहले वाला या संदर्भ मान होता है।
"A, B का कितना प्रतिशत है" = A ÷ B × 100। "का" से पहले वाला मान (B) नीचे जाता है।
अभ्यास तालिका A: बिके हुए टिकट
नीचे के आँकड़े अभ्यास के लिए बनाए गए हैं। ये वास्तविक आँकड़े नहीं हैं।
एक स्टेशन पर बिके टिकट (हज़ार में)
| महीना | आरक्षित | अनारक्षित | कुल |
|---|---|---|---|
| जनवरी | 40 | 60 | 100 |
| फ़रवरी | 45 | 75 | 120 |
| मार्च | 50 | 80 | 130 |
| अप्रैल | 42 | 48 | 90 |
| मई | 48 | 102 | 150 |
हल किए गए प्रश्न:
- प्रति माह औसत आरक्षित टिकट? (40 + 45 + 50 + 42 + 48) ÷ 5 = 225 ÷ 5 = 45 हज़ार।
- अप्रैल से मई तक कुल टिकटों में प्रतिशत वृद्धि? (150 − 90) ÷ 90 × 100 = 66⅔%।
- फ़रवरी में आरक्षित और अनारक्षित का अनुपात? 45 : 75 = 3 : 5।
- किस महीने कुल में आरक्षित टिकटों का हिस्सा सबसे अधिक था? जनवरी 40%, फ़रवरी 37.5%, मार्च लगभग 38.5%, अप्रैल लगभग 46.7%, मई 32%। अप्रैल।
- मई में अनारक्षित टिकट जनवरी से कितने प्रतिशत अधिक थे? (102 − 60) ÷ 60 × 100 = 70%।
- मासिक कुल की माध्यिका? क्रम में: 90, 100, 120, 130, 150। माध्यिका = 120 हज़ार।
अभ्यास तालिका B: प्रतिशत में बँटवारा
पाई चार्ट (pie chart) के प्रश्न अक्सर प्रतिशत में बँटवारा देते हैं। यहाँ भी आँकड़े बनाए गए हैं।
एक परिवार का मासिक खर्च (कुल ₹40,000)
| मद | हिस्सा |
|---|---|
| भोजन | 30% |
| किराया | 25% |
| शिक्षा | 15% |
| परिवहन | 10% |
| बचत | 20% |
हल किए गए प्रश्न:
- भोजन पर खर्च राशि? 40,000 का 30% = ₹12,000।
- शिक्षा पर परिवहन से कितना अधिक? 40,000 का 5% = ₹2,000।
- पाई चार्ट में किराए का केंद्रीय कोण? 360° का 25% = 90°।
- बचत और भोजन का अनुपात? 20 : 30 = 2 : 3।
पहले प्रतिशत में काम क्यों करें: मदों के बीच अंतर और अनुपात सीधे प्रतिशत से निकाले जा सकते हैं। रुपयों में केवल एक बार, अंत में बदलें।
आम गलतियाँ
- माध्यिका निकालने से पहले क्रम में न लगाना।
- प्रतिशत परिवर्तन के लिए गलत आधार लेना। आधार पहले वाला मान होता है।
- इकाइयाँ न देखना, जैसे "हज़ार में" या "₹ लाख में"।
- दो समूहों के माध्यों का सीधा औसत लेना, समूह के आकार से भार दिए बिना।
- गलत पंक्ति या स्तंभ पढ़ना। संख्या लिखने से पहले उस पंक्ति पर उँगली या कर्सर रखें।
अभ्यास सेट
- 12, 15, 18, 20 और 25 का माध्य ज्ञात कीजिए।
- 3, 8, 5, 10 और 7 की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
- 2, 4, 4, 6, 6, 6 और 8 का बहुलक ज्ञात कीजिए।
- 14, 3, 22, 9 और 17 का परिसर ज्ञात कीजिए।
- तालिका A से जनवरी से मार्च तक बिके कुल टिकट ज्ञात कीजिए।
- तालिका A से अप्रैल के अनारक्षित टिकटों को फ़रवरी के अनारक्षित टिकटों के प्रतिशत के रूप में लिखिए।
- तालिका B से, अगर आय बढ़कर ₹50,000 हो जाए और प्रतिशत वही रहें, तो भोजन पर कितना अधिक खर्च होगा?
- कक्षा A में 30 विद्यार्थी हैं जिनका औसत 60 अंक है, और कक्षा B में 20 विद्यार्थी हैं जिनका औसत 70 है। संयुक्त औसत ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
- 18। 90 ÷ 5।
- 7। क्रम में: 3, 5, 7, 8, 10।
- 6। यह तीन बार आता है।
- 19। 22 − 3।
- 350 हज़ार। 100 + 120 + 130।
- 64%। 48 ÷ 75 × 100।
- ₹3,000। ₹10,000 की वृद्धि का 30%।
- 64। (1,800 + 1,400) ÷ 50।
आगे क्या करें
- माध्य, माध्यिका और बहुलक के 10 प्रश्न हल करें, और माध्यिका निकालने से पहले हर बार आँकड़ों को क्रम में लगाएँ।
- चार चरणों वाले पढ़ने के तरीके का पालन करते हुए पाँच तालिका सेट और पाँच प्रतिशत-बँटवारे वाले सेट का अभ्यास करें।
- मॉक टेस्ट (mock test) में होने वाली हर गलत पढ़ाई की सूची रखें। आमतौर पर वही दो-तीन आदतें होती हैं।
- पूरे पाठ्यक्रम में गणित के दोहराव के लिए NTPC गणित योजना पर वापस जाएँ।
तारीख़ों और आँकड़ों पर एक बात। परीक्षा का पैटर्न, रिक्तियाँ और कार्यक्रम हर साल बदल सकते हैं। ताज़ा जानकारी हमेशा Railway Recruitment Boards की वेबसाइट पर जारी नवीनतम अधिसूचना में देखें।
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