इस गाइड में
क्षेत्रमिति (mensuration) आकृतियों को मापने के बारे में है: किसी खेत के चारों ओर कितनी बाड़ लगेगी, किसी टंकी को ढकने में कितना पेंट लगेगा, उसमें कितना पानी आएगा। RRB NTPC के प्रश्नों में आमतौर पर एक सूत्र, π का समझदारी से चुनाव और सावधान अंकगणित चाहिए।
सूत्र नींव हैं, इसलिए उन्हें नीचे दो तालिकाओं में इकट्ठा किया गया है। उसके बाद वे बातें आती हैं जो सूत्र याद रखने को तेज़ हल में बदलती हैं: सूत्र क्यों काम करते हैं, आकृतियाँ कैसे बढ़ती-घटती हैं, और किसी ठोस को पिघलाकर दोबारा ढालने पर क्या नहीं बदलता। अगर त्रिक और वृत्त के तथ्य कच्चे लग रहे हों, तो पहले ज्यामिति दोहरा लें।
2D आकृतियाँ
| आकृति | परिमाप | क्षेत्रफल |
|---|---|---|
| वर्ग (भुजा a) | 4a | a²; या विकर्ण² ÷ 2 |
| आयत (l, b) | 2(l + b) | l × b |
| त्रिभुज (आधार b, ऊँचाई h) | भुजाओं का योग | ½ × b × h |
| त्रिभुज (भुजाएँ a, b, c) | a + b + c | √(s(s − a)(s − b)(s − c)), s = आधा परिमाप |
| समबाहु त्रिभुज (भुजा a) | 3a | (√3/4) × a² |
| समचतुर्भुज (विकर्ण d₁, d₂) | 4 × भुजा | ½ × d₁ × d₂ |
| समलंब (समांतर भुजाएँ a, b; ऊँचाई h) | भुजाओं का योग | ½ × (a + b) × h |
| वृत्त (त्रिज्या r) | 2πr | πr² |
| अर्धवृत्त (त्रिज्या r) | πr + 2r | ½πr² |
3D आकृतियाँ
| ठोस | पृष्ठीय क्षेत्रफल | आयतन |
|---|---|---|
| घन (भुजा a) | 6a² | a³ |
| घनाभ (l, b, h) | 2(lb + bh + hl) | l × b × h |
| बेलन (r, h) | वक्र 2πrh; कुल 2πr(r + h) | πr²h |
| शंकु (r, h, तिर्यक ऊँचाई l) | वक्र πrl; कुल πr(l + r) | ⅓πr²h |
| गोला (r) | 4πr² | (4/3)πr³ |
| अर्धगोला (r) | वक्र 2πr²; कुल 3πr² | (2/3)πr³ |
शंकु के लिए तिर्यक ऊँचाई (slant height) l = √(r² + h²), जो त्रिज्या, ऊँचाई और तिर्यक रेखा से बने समकोण त्रिभुज से आती है।
मुख्य सूत्र क्यों काम करते हैं
- प्रिज़्म और बेलन: आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई। बेलन वृत्तों का एक ढेर है, इसलिए πr² × h।
- शंकु: एक शंकु में ठीक उतने ही आधार और ऊँचाई वाले बेलन का एक-तिहाई आता है, इसलिए ⅓πr²h।
- बेलन का वक्र पृष्ठ: इसे खोलें, तो एक आयत मिलता है जिसकी लंबाई परिधि 2πr और चौड़ाई h होती है।
- अर्धगोले का कुल पृष्ठ: वक्र भाग 2πr² और ऊपर का सपाट वृत्त πr² मिलकर 3πr² देते हैं।
π का चुनाव
- अगर त्रिज्या या व्यास 7 का गुणज है, तो π = 22/7 लें। 7 कट जाता है और गणना पूर्ण संख्याओं में रहती है।
- अगर विकल्पों में π हो (जैसे 36π cm³), तो π को वैसे ही रहने दें।
- 3.14 तभी लें जब प्रश्न कहे।
मापक्रम (scaling): जब हर लंबाई बदलती है
अगर हर लंबाई को k से गुणा किया जाए, तो परिमाप × k, क्षेत्रफल × k², आयतन × k³।
क्यों: क्षेत्रफल में दो लंबाइयाँ गुणा होती हैं और आयतन में तीन। इसलिए त्रिज्या में 20% की वृद्धि (k = 1.2) से क्षेत्रफल 1.44 गुना हो जाता है, यानी 44% की वृद्धि, 40% नहीं।
पिघलाकर दोबारा ढालना
जब किसी ठोस को पिघलाकर दूसरी आकृतियाँ बनाई जाती हैं, तो आयतन वही रहता है। पृष्ठीय क्षेत्रफल वही नहीं रहता।
- छोटे ठोसों की संख्या = बड़े ठोस का आयतन ÷ एक छोटे ठोस का आयतन।
- गोलों के लिए यह (R ÷ r)³ रह जाता है, क्योंकि 4/3 और π कट जाते हैं।
इकाइयाँ
- 1 m = 100 cm, इसलिए 1 m² = 10,000 cm² और 1 m³ = 10,00,000 cm³।
- 1 लीटर = 1,000 cm³, और 1 m³ = 1,000 लीटर।
- 1 हेक्टेयर = 10,000 m²।
NTPC स्तर के हल किए गए प्रश्न
प्रश्न 1. 7 cm त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल और परिधि ज्ञात कीजिए।
क्षेत्रफल = 22/7 × 49 = 154 cm²। परिधि = 2 × 22/7 × 7 = 44 cm।
प्रश्न 2. 13 cm, 14 cm और 15 cm भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
s = 21। क्षेत्रफल = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7,056 = 84 cm²।
प्रश्न 3. 7 cm त्रिज्या और 10 cm ऊँचाई वाले बेलन का आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
आयतन = 22/7 × 49 × 10 = 1,540 cm³।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 22/7 × 7 × 10 = 440 cm²।
प्रश्न 4. एक शंकु की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 24 cm है। उसकी तिर्यक ऊँचाई, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।
l = √(49 + 576) = √625 = 25 cm (7-24-25 त्रिक)।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 22/7 × 7 × 25 = 550 cm²।
आयतन = ⅓ × 22/7 × 49 × 24 = 1,232 cm³।
प्रश्न 5. 6 cm त्रिज्या वाले धातु के गोले को पिघलाकर 2 cm त्रिज्या वाले छोटे गोले बनाए जाते हैं। कितने छोटे गोले बनेंगे?
(6 ÷ 2)³ = 27।
प्रश्न 6. एक वृत्त की त्रिज्या 20% बढ़ाई जाती है। उसका क्षेत्रफल कितने प्रतिशत बढ़ेगा?
k = 1.2, इसलिए क्षेत्रफल × 1.44। वृद्धि = 44%।
आम गलतियाँ
- व्यास को त्रिज्या मान लेना। पहले उसे आधा करें।
- लंबाई की इकाई बदलना, पर क्षेत्रफल या आयतन की नहीं। 1 m² = 10,000 cm² होता है, 100 नहीं।
- कुल माँगा हो तब वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल देना, या इसका उल्टा।
- शंकु के पृष्ठीय क्षेत्रफल में तिर्यक ऊँचाई की जगह ऊँचाई लेना।
- मापक्रम में प्रतिशत जोड़ देना। त्रिज्या में 20% वृद्धि से क्षेत्रफल में 44% वृद्धि होती है।
अभ्यास सेट
- 9 cm भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 14 cm त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 10 cm × 6 cm × 4 cm वाले घनाभ का आयतन ज्ञात कीजिए।
- 7 cm त्रिज्या और 5 cm ऊँचाई वाले बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
- एक वृत्त की परिधि 88 cm है। उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
- एक समचतुर्भुज के विकर्ण 16 cm और 12 cm हैं। उसका क्षेत्रफल और भुजा ज्ञात कीजिए।
- एक पानी की टंकी 2 m × 1.5 m × 1 m की है। उसमें कितने लीटर पानी आएगा?
- 21 cm त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
- 81 cm²। 9 × 9।
- 616 cm²। 22/7 × 196।
- 240 cm³। 10 × 6 × 4।
- 770 cm³। 22/7 × 49 × 5।
- 14 cm। 2 × 22/7 × r = 88।
- क्षेत्रफल 96 cm², भुजा 10 cm। ½ × 16 × 12; आधे विकर्ण 8 और 6 से भुजा 10 मिलती है।
- 3,000 लीटर। 3 m³ × 1,000।
- 5,544 cm²। 4 × 22/7 × 441।
आगे क्या करें
- दोनों सूत्र-तालिकाएँ हाथ से लिखें, फिर उन्हें याद से तब तक दोबारा लिखें जब तक सही न आ जाएँ।
- 20 प्रश्न हल करें, और शुरू करने से पहले हर प्रश्न में घेरा लगाएँ कि उसमें परिमाप, क्षेत्रफल, पृष्ठीय क्षेत्रफल या आयतन में से क्या चाहिए।
- मापक्रम वाले पाँच और पिघलाकर ढालने वाले पाँच प्रश्नों का अभ्यास करें।
- "x% बढ़ाया गया" वाले प्रकार के लिए प्रतिशत दोहराएँ।
तारीख़ों और आँकड़ों पर एक बात। परीक्षा का पैटर्न, रिक्तियाँ और कार्यक्रम हर साल बदल सकते हैं। ताज़ा जानकारी हमेशा Railway Recruitment Boards की वेबसाइट पर जारी नवीनतम अधिसूचना में देखें।
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