इस गाइड में
RRB NTPC में बीजगणित (algebra) के प्रश्न छोटे होते हैं। वे दो बातें जाँचते हैं: क्या आप कुछ सर्वसमिकाएँ (identities) इतनी अच्छी तरह जानते हैं कि उन्हें उलट-पलट सकें, और क्या आप बिना चिह्न की गलती के एक सरल समीकरण हल कर सकते हैं। यहाँ कोई भारी सिद्धांत नहीं है, और ठीक इसी कारण इसे पक्का करना ज़रूरी है। ये वे अंक हैं जो आपको नहीं गँवाने चाहिए।
यह मार्गदर्शिका सर्वसमिकाओं, उन पर बने प्रश्नों के प्रकारों, और परीक्षा की दो आदतों को कवर करती है जो समय बचाती हैं: आसान संख्याएँ रखकर देखना, और विकल्प जाँचना।
जो सर्वसमिकाएँ आनी चाहिए
| सर्वसमिका | विस्तारित रूप |
|---|---|
| (a + b)² | a² + 2ab + b² |
| (a − b)² | a² − 2ab + b² |
| a² − b² | (a + b)(a − b) |
| (a + b)³ | a³ + b³ + 3ab(a + b) |
| (a − b)³ | a³ − b³ − 3ab(a − b) |
| a³ + b³ | (a + b)(a² − ab + b²) |
| a³ − b³ | (a − b)(a² + ab + b²) |
| (a + b + c)² | a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) |
ये क्यों सही हैं: हर सर्वसमिका बस गुणा को खोलकर लिखना है। (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b²। बीच वाला पद 2ab ही वह पद है जिसे अभ्यर्थी भूल जाते हैं, और इसी कारण (a + b)² कभी भी केवल a² + b² नहीं होता।
बदले हुए रूप: प्रश्न यहीं से आते हैं
ज़्यादातर प्रश्न आपको योग और गुणनफल देते हैं और कुछ और माँगते हैं। ये बदले हुए रूप काम कर देते हैं:
- a² + b² = (a + b)² − 2ab
- a² + b² = (a − b)² + 2ab
- a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b)
- a² + b² + c² = (a + b + c)² − 2(ab + bc + ca)
x + 1/x वाला परिवार
b = 1/x रखें। क्योंकि x × 1/x = 1, गुणनफल वाला पद 1 हो जाता है और सर्वसमिकाएँ सरल हो जाती हैं:
| अगर x + 1/x = t, तो | मान |
|---|---|
| x² + 1/x² | t² − 2 |
| x³ + 1/x³ | t³ − 3t |
| (x − 1/x)² | t² − 4 |
और उल्टी दिशा में: अगर x − 1/x = k, तो x² + 1/x² = k² + 2।
t³ − 3t क्यों: (x + 1/x)³ = x³ + 1/x³ + 3 × x × 1/x × (x + 1/x) = x³ + 1/x³ + 3t। 3t को दूसरी ओर ले जाएँ।
जब a + b + c = 0 हो
अगर a + b + c = 0, तो a³ + b³ + c³ = 3abc।
क्यों: पूरी सर्वसमिका है a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)। अगर पहला कोष्ठक शून्य है, तो पूरा दायाँ पक्ष शून्य है। 1, 2 और −3 से जाँचें: 1 + 8 − 27 = −18, और 3 × 1 × 2 × (−3) = −18।
रैखिक समीकरण
- एक चर (variable): पदों को दूसरी ओर ले जाएँ, हर बार चिह्न बदलें, फिर भाग दें।
- दो चर: एक चर हटाने के लिए समीकरणों को जोड़ें या घटाएँ (विलोपन विधि, elimination), या सरल समीकरण से एक चर का मान निकालकर दूसरे में रखें (प्रतिस्थापन, substitution)।
- शाब्दिक प्रश्न (word problems): एक अज्ञात को नाम दें, बाकी सब कुछ उसी के रूप में लिखें, और एक समीकरण बनाएँ।
समय बचाने के दो तरीके
- आसान संख्याएँ रखें। अगर प्रश्न कहता है a + b = 7 और ab = 12, तो a और b, 3 और 4 हैं। सीधे गणना करें। बिना शर्त वाले सर्वसमिका प्रश्नों में a = 1, b = 0 या x = 1 रखकर देखें और विकल्पों से मिलाएँ।
- समीकरणों में विकल्प जाँचें। हर विकल्प रखें और देखें कि किससे दोनों पक्ष बराबर होते हैं। चार विकल्पों के साथ यह अक्सर हल करने से तेज़ होता है।
NTPC स्तर के हल किए गए प्रश्न
प्रश्न 1. अगर x + 1/x = 5, तो x² + 1/x² ज्ञात कीजिए।
t² − 2 = 25 − 2 = 23।
प्रश्न 2. अगर x + 1/x = 3, तो x³ + 1/x³ ज्ञात कीजिए।
t³ − 3t = 27 − 9 = 18।
प्रश्न 3. अगर a + b = 5 और ab = 6, तो a³ + b³ ज्ञात कीजिए।
(a + b)³ − 3ab(a + b) = 125 − 90 = 35।
जाँच: a और b, 2 और 3 हैं; 8 + 27 = 35।
प्रश्न 4. अगर x + y + z = 0, तो (x³ + y³ + z³) ÷ xyz ज्ञात कीजिए।
x³ + y³ + z³ = 3xyz, इसलिए मान 3 है।
प्रश्न 5. 3x + 2y = 16 और 2x − y = 6 को हल कीजिए।
दूसरे समीकरण से y = 2x − 6। इसे रखें: 3x + 4x − 12 = 16, इसलिए 7x = 28।
x = 4, y = 2। जाँच: 12 + 4 = 16 और 8 − 2 = 6।
प्रश्न 6. एक बुकिंग क्लर्क 40 टिकट बेचता है, कुछ ₹25 के और बाकी ₹40 के, और ₹1,300 इकट्ठा करता है। ₹40 वाले कितने टिकट बिके?
मान लीजिए ₹40 वाले x टिकट हैं। तब 25(40 − x) + 40x = 1,300।
1,000 + 15x = 1,300, इसलिए x = 20।
जाँच: 20 × 25 + 20 × 40 = 500 + 800 = 1,300।
आम गलतियाँ
- बीच वाला पद छोड़ देना। (a + b)² में 2ab होता है।
- x + 1/x का वर्ग करने के बाद 2 घटाना भूल जाना। x − 1/x में 2 जोड़ा जाता है।
- बराबर के चिह्न के पार चिह्न की गलती। एक बार में एक पद ले जाएँ और पंक्ति दोबारा लिखें।
- एक ही चर पर रुक जाना। अगर प्रश्न x + y माँगता है, तो योग दें, केवल x नहीं।
- जब a + b + c = 0 दिया ही न हो, तब उसका प्रयोग करना। 3abc वाले परिणाम के लिए यह शर्त ज़रूरी है।
अभ्यास सेट
- अगर x + 1/x = 3, तो x² + 1/x² ज्ञात कीजिए।
- अगर a + b = 9 और ab = 20, तो a² + b² ज्ञात कीजिए।
- 5x + 3 = 28 को हल कीजिए।
- 2x + y = 11 और x − y = 1 को हल कीजिए।
- अगर a − b = 3 और ab = 10, तो a² + b² ज्ञात कीजिए।
- अगर x + 1/x = 4, तो x³ + 1/x³ ज्ञात कीजिए।
- अगर x − 1/x = 2, तो x² + 1/x² ज्ञात कीजिए।
- अगर a + b + c = 6 और ab + bc + ca = 11, तो a² + b² + c² ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
- 7। 9 − 2।
- 41। 81 − 40।
- x = 5। 5x = 25।
- x = 4, y = 3। जोड़ने पर 3x = 12।
- 29। (a − b)² + 2ab = 9 + 20। जाँच: 5 और 2।
- 52। 64 − 12।
- 6। k² + 2 = 4 + 2।
- 14। 36 − 22। जाँच: 1, 2 और 3।
आगे क्या करें
- इस सप्ताह सर्वसमिकाओं वाली तालिका दो बार याद से लिखें, x + 1/x वाली पंक्तियों सहित।
- सर्वसमिका वाले 20 प्रश्न हल करें, और हर उत्तर को असली संख्याएँ रखकर जाँचें।
- दो चर वाले 10 समीकरण विलोपन विधि से और 10 विकल्प जाँचकर हल करें, फिर जो तरीका आपके लिए तेज़ हो, उसे अपनाएँ।
- सरलीकरण दोहराएँ, क्योंकि बीजगणित की कई चूकें असल में अंकगणित की चूकें होती हैं।
तारीख़ों और आँकड़ों पर एक बात। परीक्षा का पैटर्न, रिक्तियाँ और कार्यक्रम हर साल बदल सकते हैं। ताज़ा जानकारी हमेशा Railway Recruitment Boards की वेबसाइट पर जारी नवीनतम अधिसूचना में देखें।
अगली RRB NTPC गाइड ईमेल पर पाएँ
हर हफ़्ते नई गाइड। कोई स्पैम नहीं, जब चाहें सदस्यता छोड़ें।