RRB Group D के लिए ज्यामिति

RRB Group D में ज्यामिति (geometry) के ज़्यादातर प्रश्न एक तथ्य पर चलते हैं। न लंबी उपपत्तियाँ होती हैं, न रचनाएँ। तथ्य पता हो, तो प्रश्न 20 सेकंड में हो जाता है। तथ्य पता न हो, तो कितना भी हिसाब लगाएँ, काम नहीं बनेगा।

इसलिए ज्यामिति पहले याद रखने का टॉपिक है और हिसाब का टॉपिक बाद में। यह गाइड तथ्यों को अध्याय के अनुसार देती है, दिखाती है कि हर तथ्य कैसे पूछा जाता है, और एक अभ्यास सेट देती है। हर प्रश्न के लिए एक कच्ची आकृति जल्दी से बना लें, चाहे आकृति दी गई हो। इससे आप कोणों को आपस में नहीं मिलाएँगे।

कोण और समांतर रेखाएँ

• एक सरल रेखा पर बने कोणों का योग 180° होता है।
• एक बिंदु के चारों ओर बने कोणों का योग 360° होता है।
• पूरक (complementary) कोणों का योग 90° होता है। संपूरक (supplementary) कोणों का योग 180° होता है।
• शीर्षाभिमुख (vertically opposite) कोण बराबर होते हैं।

जब कोई रेखा (तिर्यक रेखा, transversal) दो समांतर रेखाओं को काटती है:

त्रिभुज

• तीनों कोणों का योग 180° होता है।
• बहिष्कोण (exterior angle) दोनों सामने वाले अंतःकोणों के योग के बराबर होता है।
• समद्विबाहु (isosceles) त्रिभुज में बराबर भुजाओं के सामने वाले कोण बराबर होते हैं। समबाहु (equilateral) त्रिभुज में हर कोण 60° होता है।
• किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है। इसलिए 3 सेमी, 4 सेमी और 8 सेमी से त्रिभुज नहीं बन सकता।
• केंद्रक (centroid), यानी जहाँ माध्यिकाएँ मिलती हैं, हर माध्यिका को शीर्ष की ओर से 2 : 1 के अनुपात में बाँटता है।

पाइथागोरस और त्रिक

समकोण त्रिभुज में, (कर्ण)² = (आधार)² + (लंब)²। कर्ण (hypotenuse) हमेशा समकोण के सामने वाली भुजा होता है और हमेशा सबसे लंबी भुजा होता है।

ये त्रिक (triplets) याद करें, क्योंकि प्रश्न बनाने वाले इन्हें बार-बार इस्तेमाल करते हैं:

दो विशेष समकोण त्रिभुज भी आते हैं, और ये त्रिकोणमिति से जुड़ते हैं:

• 30°–60°–90°: भुजाएँ 1 : √3 : 2 के अनुपात में (सबसे छोटी भुजा 30° के सामने होती है)।
• 45°–45°–90°: भुजाएँ 1 : 1 : √2 के अनुपात में।

बहुभुज

n भुजाओं वाले बहुभुज (polygon) के लिए:

वृत्त

• अर्धवृत्त में बना कोण 90° होता है।
• किसी चाप द्वारा केंद्र पर बना कोण, उसी चाप द्वारा परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है।
• एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं।
• चक्रीय चतुर्भुज (cyclic quadrilateral) के सामने वाले कोणों का योग 180° होता है।
• स्पर्श रेखा (tangent) स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या से 90° पर मिलती है।
• एक ही बाहरी बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।
• केंद्र से जीवा (chord) पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

अंतिम तीन तथ्य वृत्त के कई प्रश्नों को पाइथागोरस के प्रश्नों में बदल देते हैं।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: किसी त्रिभुज के कोण 2 : 3 : 4 के अनुपात में हैं। कोण ज्ञात करें।

• कुल भाग = 2 + 3 + 4 = 9। एक भाग = 180 ÷ 9 = 20°।
• कोण: 40°, 60° और 80°।

उदाहरण 2: एक समकोण त्रिभुज में समकोण बनाने वाली भुजाएँ 9 सेमी और 12 सेमी हैं। कर्ण ज्ञात करें।

• 9, 12 = 3 × (3, 4)। इसलिए कर्ण 3 × 5 = 15 सेमी है।
• जाँच: 81 + 144 = 225 = 15²।

उदाहरण 3: दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है। एक सह-अंतः कोण 65° है। दूसरा ज्ञात करें।

• सह-अंतः कोणों का योग 180° होता है। दूसरा कोण = 180 − 65 = 115°।

उदाहरण 4: एक सम बहुभुज का हर बहिष्कोण 45° है। इसकी कितनी भुजाएँ हैं, और कितने विकर्ण?

• भुजाएँ = 360 ÷ 45 = 8।
• विकर्ण = 8 × (8 − 3) ÷ 2 = 8 × 5 ÷ 2 = 20।

उदाहरण 5: 13 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा 24 सेमी लंबी है। वह केंद्र से कितनी दूर है?

• केंद्र से डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए आधी जीवा 12 सेमी है।
• दूरी = √(13² − 12²) = √(169 − 144) = √25 = 5 सेमी। (फिर वही 5, 12, 13।)

उदाहरण 6: एक बिंदु 8 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 17 सेमी दूर है। उस बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात करें।

• स्पर्श रेखा त्रिज्या से 90° पर मिलती है, इसलिए केंद्र तक की दूरी कर्ण है।
• स्पर्श रेखा = √(17² − 8²) = √(289 − 64) = √225 = 15 सेमी।

आम गलतियाँ

• ऐसे त्रिभुज पर पाइथागोरस लगाना जिसमें समकोण ही नहीं है।
• दी गई सबसे बड़ी संख्या को कर्ण के बजाय भुजा मान लेना, या उल्टा।
• पूरक (90°) और संपूरक (180°) को आपस में मिला देना।
• (n − 2) × 180° को हर एक कोण का माप मान लेना, जबकि यह सभी अंतःकोणों का योग है।
• पाइथागोरस लगाने से पहले जीवा को आधा करना भूल जाना।

अभ्यास सेट

1. 58° का पूरक कोण ज्ञात करें।
2. एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 25 सेमी और एक भुजा 7 सेमी है। दूसरी भुजा ज्ञात करें।
3. एक सम षट्भुज का हर अंतःकोण ज्ञात करें।
4. एक सम बहुभुज का हर बहिष्कोण 30° है। इसकी कितनी भुजाएँ हैं?
5. एक त्रिभुज का बहिष्कोण 110° है। सामने वाले अंतःकोणों में से एक 50° है। दूसरा ज्ञात करें।
6. एक समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण 40° है। आधार का हर कोण ज्ञात करें।
7. एक चक्रीय चतुर्भुज का एक कोण 75° है। इसके सामने वाला कोण ज्ञात करें।
8. एक चाप वृत्त के केंद्र पर 130° का कोण बनाता है। वृत्त के बाकी हिस्से के किसी बिंदु पर वह कितना कोण बनाएगा?

उत्तर:

1. 32°। 90 − 58।
2. 24 सेमी। √(625 − 49) = √576। यह 7, 24, 25 वाला त्रिक है।
3. 120°। हर बहिष्कोण 360 ÷ 6 = 60° है, और 180 − 60 = 120।
4. 12। 360 ÷ 30।
5. 60°। बहिष्कोण सामने वाले अंतःकोणों के योग के बराबर होता है: 110 − 50।
6. हर एक 70°। (180 − 40) ÷ 2।
7. 105°। चक्रीय चतुर्भुज के सामने वाले कोणों का योग 180° होता है।
8. 65°। परिधि पर बना कोण केंद्र पर बने कोण का आधा होता है।

आगे क्या करें

• त्रिक वाली तालिका और वृत्त के तथ्य एक कार्ड पर लिख लें और एक हफ़्ते तक रोज़ पढ़ें।
• ज्यामिति के जिस भी प्रश्न का अभ्यास करें, पहले उसकी कच्ची आकृति बनाएँ।
• 20 मिले-जुले प्रश्न हल करें, फिर लिखें कि हर गलत उत्तर में कौन-सा तथ्य चाहिए था।
• इन आकृतियों को क्षेत्रमिति तक ले जाएँ, जहाँ आप इनके क्षेत्रफल और आयतन निकालते हैं।