इस गाइड में
ब्याज वह पैसा है जो किसी और का पैसा इस्तेमाल करने के बदले दिया जाता है। बैंक आपकी जमा राशि पर आपको ब्याज देता है; कर्ज़ लेने पर आप कर्ज़ देने वाले को ब्याज देते हैं। परीक्षा में प्रश्न लगभग हमेशा दो में से एक प्रकार का होता है: साधारण ब्याज, जिसमें ब्याज हर साल एक जैसा रहता है, और चक्रवृद्धि ब्याज, जिसमें हर साल का ब्याज मूलधन में जुड़ जाता है और उस पर भी ब्याज मिलता है।
दोनों असल में प्रतिशत के ही प्रश्न हैं। अगर प्रतिशत वाली गाइड आपको सहज लगती है, तो यह टॉपिक भी लगेगा।
साधारण ब्याज (simple interest, SI)
ब्याज हर साल मूल राशि, यानी मूलधन (principal), पर निकाला जाता है। यह कभी नहीं बदलता।
- SI = P × R × T ÷ 100
- मिश्रधन (amount) = P + SI
P = मूलधन, R = वार्षिक दर प्रतिशत, T = वर्षों में समय।
इसी सूत्र को उलट-पलटकर कोई भी छूटा हुआ मान निकाला जा सकता है:
| क्या ज्ञात करना है | सूत्र |
|---|---|
| मूलधन | P = SI × 100 ÷ (R × T) |
| दर | R = SI × 100 ÷ (P × T) |
| समय | T = SI × 100 ÷ (P × R) |
साधारण ब्याज पर दोगुना और तिगुना होना: कोई राशि अपनी n गुना तब होती है जब ब्याज (n − 1) × P के बराबर हो। इसलिए R × T = (n − 1) × 100। राशि तब दोगुनी होती है जब R × T = 100, और तिगुनी तब जब R × T = 200।
चक्रवृद्धि ब्याज (compound interest, CI)
हर साल का ब्याज मूलधन में जुड़ जाता है, और अगले साल का ब्याज इस नए योग पर निकाला जाता है।
- मिश्रधन = P × (1 + R/100)ᵀ
- CI = मिश्रधन − P
2 या 3 वर्षों के लिए साल-दर-साल विधि सबसे तेज़ है और इसमें गलती मुश्किल से होती है: हर साल का ब्याज उस समय के मिश्रधन पर निकालें और जोड़ दें।
अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि
अगर ब्याज हर छह महीने पर जुड़ता है (compounded half-yearly), तो दर आधी करें और अवधियों की संख्या दोगुनी करें। 10% वार्षिक दर, अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि, 1 वर्ष के लिए, 2 अवधियों के लिए 5% के बराबर है।
SI और CI की तुलना
| विशेषता | साधारण ब्याज | चक्रवृद्धि ब्याज |
|---|---|---|
| ब्याज किस पर निकलता है | केवल मूल मूलधन पर | मूलधन और पिछले ब्याज पर |
| हर साल का ब्याज | हर साल एक जैसा | हर साल बढ़ता है |
| पहला वर्ष | CI के बराबर | SI के बराबर |
| 2 या अधिक वर्षों में | CI से कम | SI से अधिक |
CI − SI शॉर्टकट
एक ही P और R के लिए:
- 2 वर्ष: CI − SI = P × (R/100)²
- 3 वर्ष: CI − SI = P × (R/100)² × (3 + R/100)
2 वर्ष का अंतर बस पहले साल के ब्याज पर मिला ब्याज है।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1: ₹4,000 पर 6% की दर से 3 वर्ष का SI ज्ञात करें।
- 4,000 × 6 × 3 ÷ 100 = ₹720।
उदाहरण 2: साधारण ब्याज पर कोई राशि 3 वर्ष में ₹6,500 और 4 वर्ष में ₹7,000 हो जाती है। राशि और दर ज्ञात करें।
- एक वर्ष का ब्याज = 7,000 − 6,500 = 500।
- तीन वर्ष का ब्याज = 1,500, इसलिए P = 6,500 − 1,500 = ₹5,000।
- R = 500 ÷ 5,000 × 100 = 10%।
उदाहरण 3: ₹5,000 पर 10% की दर से 2 वर्ष का CI ज्ञात करें।
- वर्ष 1: ब्याज 500; मिश्रधन 5,500।
- वर्ष 2: ब्याज 550; मिश्रधन 6,050।
- CI = ₹1,050।
उदाहरण 4: ₹10,000 पर 10% वार्षिक दर से, अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि पर, 1 वर्ष का CI ज्ञात करें।
- हर छमाही के लिए दर 5%, 2 अवधियाँ।
- 10,000 → 10,500 → 11,025। CI = ₹1,025।
- तुलना करें: वार्षिक चक्रवृद्धि पर केवल ₹1,000 मिलते।
उदाहरण 5: ₹10,000 पर 5% की दर से 2 वर्ष के CI और SI का अंतर ज्ञात करें।
- 10,000 × (5/100)² = 10,000 × 0.0025 = ₹25।
उदाहरण 6: ₹1,000 पर 10% की दर से 3 वर्ष के CI और SI का अंतर ज्ञात करें।
- 1,000 × (10/100)² × (3 + 0.1) = 1,000 × 0.01 × 3.1 = ₹31।
- जाँच: CI = 1,331 − 1,000 = 331; SI = 300; अंतर = 31।
आम गलतियाँ
- प्रश्न "चक्रवृद्धि" कहे तब SI लगाना, या इसका उलटा।
- प्रश्न ब्याज पूछे तब मिश्रधन बता देना।
- महीनों या दिनों को वर्षों में बदलना भूल जाना।
- अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि में दर आधी करना पर अवधियाँ दोगुनी न करना।
- CI वाले प्रश्न में हर साल एक जैसा ब्याज जोड़ना।
अभ्यास सेट
- ₹2,500 पर 4% की दर से 2 वर्ष का SI ज्ञात करें।
- किसी राशि पर 5% की दर से 4 वर्ष का SI ₹600 है। राशि ज्ञात करें।
- ₹1,200 पर 5% की दर से 9 महीने का SI ज्ञात करें।
- साधारण ब्याज की किस दर पर कोई राशि 20 वर्ष में तिगुनी हो जाती है?
- 12.5% साधारण ब्याज पर कोई राशि कितने वर्ष में दोगुनी हो जाएगी?
- ₹8,000 पर 10% चक्रवृद्धि ब्याज से 2 वर्ष का मिश्रधन ज्ञात करें।
- ₹4,000 पर 5% की दर से 2 वर्ष का CI ज्ञात करें।
- ₹20,000 पर 10% की दर से 2 वर्ष के CI और SI का अंतर ज्ञात करें।
उत्तर:
- ₹200। 2,500 × 4 × 2 ÷ 100।
- ₹3,000। 600 × 100 ÷ (5 × 4)।
- ₹45। 9 महीने = 3/4 वर्ष; 1,200 × 5 × 3/4 ÷ 100।
- 10%। तिगुना होने का मतलब R × T = 200; 200 ÷ 20।
- 8 वर्ष। R × T = 100; 100 ÷ 12.5।
- ₹9,680। 8,000 → 8,800 → 9,680।
- ₹410। 4,000 → 4,200 → 4,410।
- ₹200। 20,000 × (10/100)²।
आगे क्या करें
- SI सूत्र के चारों रूप और दोगुना होने वाला नियम याद करें।
- सूत्र लगाने से पहले साल-दर-साल विधि से CI के दस प्रश्नों का अभ्यास करें।
- 2 वर्ष वाला CI − SI शॉर्टकट याद करें और एक बार पूरा हल करके जाँचें।
- लाभ और हानि दोहराएँ, फिर समय और कार्य पर जाएँ।
तारीख़ों और आँकड़ों पर एक बात। परीक्षा का पैटर्न, रिक्तियाँ और कार्यक्रम हर साल बदल सकते हैं। ताज़ा जानकारी हमेशा Railway Recruitment Boards की वेबसाइट पर जारी नवीनतम अधिसूचना में देखें।
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