इस गाइड में
संख्या पद्धति (number system) के प्रश्न यह परखते हैं कि आप संख्याओं के व्यवहार को समझते हैं या नहीं। इनमें लंबी गणना की ज़रूरत शायद ही पड़ती है। जो अभ्यर्थी नियम जानते हैं, वे इनमें से ज़्यादातर प्रश्न 30 से 40 सेकंड में हल कर लेते हैं, इसलिए यह गणित खंड के सबसे फ़ायदेमंद विषयों में से एक है।
यह दूसरे विषयों का आधार भी है। लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक (LCM और HCF), सरलीकरण (simplification), और श्रेणी वाले प्रश्नों में शेषफल, सब इसी पर टिके हैं। इसे सबसे पहले पढ़ें, और ठीक से पढ़ें।
संख्याओं के प्रकार
| प्रकार | अर्थ | उदाहरण |
|---|---|---|
| प्राकृत संख्याएँ (natural numbers) | गिनती की संख्याएँ | 1, 2, 3… |
| पूर्ण संख्याएँ (whole numbers) | प्राकृत संख्याएँ और 0 | 0, 1, 2… |
| पूर्णांक (integers) | पूर्ण संख्याएँ और उनके ऋणात्मक रूप | …−2, −1, 0, 1, 2… |
| अभाज्य संख्याएँ (prime numbers) | ठीक दो गुणनखंड, 1 और स्वयं वह संख्या | 2, 3, 5, 7, 11… |
| भाज्य संख्याएँ (composite numbers) | दो से अधिक गुणनखंड | 4, 6, 8, 9… |
| परिमेय संख्याएँ (rational numbers) | p/q के रूप में लिखी जा सकती हैं, q शून्य नहीं | 1/2, 0.75, 5, 0.333… |
| अपरिमेय संख्याएँ (irrational numbers) | p/q के रूप में नहीं लिखी जा सकतीं | √2, π |
विभाज्यता (divisibility) के नियम, और वे क्यों काम करते हैं
| किससे | नियम | यह क्यों काम करता है |
|---|---|---|
| 2 | अंतिम अंक सम हो | 10, 2 से विभाज्य है, इसलिए केवल इकाई का अंक मायने रखता है |
| 3 | अंकों का योग 3 से विभाज्य हो | 10, 100, 1,000… हर एक को 3 से भाग देने पर शेषफल 1 बचता है |
| 4 | अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो | 100, 4 से विभाज्य है |
| 5 | अंतिम अंक 0 या 5 हो | 10, 5 से विभाज्य है |
| 6 | 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो | 6 = 2 × 3, और 2 व 3 का कोई साझा गुणनखंड नहीं है |
| 8 | अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो | 1,000, 8 से विभाज्य है |
| 9 | अंकों का योग 9 से विभाज्य हो | 10, 100, 1,000… हर एक को 9 से भाग देने पर शेषफल 1 बचता है |
| 11 | एकांतर अंकों के योगों का अंतर 0 हो या 11 से विभाज्य हो | 10, 11 से एक कम है, इसलिए यह −1 की तरह काम करता है और चिह्न बारी-बारी से बदलते हैं |
भाज्य भाजक के लिए उसे सह-अभाज्य (co-prime) गुणनखंडों में तोड़ें। 12 के लिए 3 और 4 से जाँचें, 2 और 6 से नहीं, क्योंकि 2 और 6 का एक साझा गुणनखंड है।
घातों (powers) के इकाई अंक
किसी गुणनफल का इकाई अंक (unit digit) केवल गुणा की जा रही संख्याओं के इकाई अंकों पर निर्भर करता है। इसलिए 3 पर खत्म होने वाली किसी भी संख्या की घातें ठीक 3 की घातों जैसा व्यवहार करती हैं, और वे एक चक्र में दोहराई जाती हैं।
| इकाई अंक | चक्र | चक्र की लंबाई |
|---|---|---|
| 2 | 2, 4, 8, 6 | 4 |
| 3 | 3, 9, 7, 1 | 4 |
| 7 | 7, 9, 3, 1 | 4 |
| 8 | 8, 4, 2, 6 | 4 |
| 4 | 4, 6 | 2 |
| 9 | 9, 1 | 2 |
| 0, 1, 5, 6 | हमेशा वही अंक | 1 |
2, 3, 7 और 8 के लिए विधि: घात को 4 से भाग दें और शेषफल से चक्र का पद चुनें। शेषफल 0 का अर्थ है चक्र का अंतिम पद। 4 और 9 के लिए: विषम घात पहला अंक देती है (4 या 9), सम घात दूसरा (6 या 1)।
गुणनखंड
संख्या को अभाज्य घातों के गुणनफल के रूप में लिखें, जैसे 72 = 2³ × 3²। फिर:
- गुणनखंडों (factors) की संख्या: हर घात में 1 जोड़ें और गुणा करें। 72 के लिए, (3 + 1)(2 + 1) = 12। क्यों: हर गुणनखंड 2 की 0 से 3 तक की कोई एक घात चुनता है (चार विकल्प) और 3 की 0 से 2 तक की कोई एक घात (तीन विकल्प)।
- गुणनखंडों का योग: हर अभाज्य संख्या के लिए 1 और उसकी सबसे बड़ी घात तक की सभी घातें जोड़ें, फिर परिणामों का गुणा करें। 72 के लिए, (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9)।
शेषफल
- किसी योग या गुणनफल का शेषफल (remainder), अलग-अलग शेषफलों के योग या गुणनफल के शेषफल के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, 17 × 23 को 5 से भाग: शेषफल 2 और 3, और 2 × 3 = 6, जिससे 1 बचता है। जाँच: 391 = 5 × 78 + 1।
- अगर किसी संख्या को d से भाग देने पर शेषफल r बचता है, और k, d का एक गुणनखंड है, तो k से भाग देने पर शेषफल वही होगा जो r को k से भाग देने पर बचता है।
दो और प्रकार के प्रश्न जो जानने लायक हैं
- n! (n क्रमगुणित, factorial) के अंत के शून्य (trailing zeros): 5 गिनें। 50! के लिए: 50 ÷ 5 = 10, और 50 ÷ 25 = 2, इसलिए 12 शून्य। क्यों: हर शून्य के लिए 2 × 5 की एक जोड़ी चाहिए, और 2 हमेशा 5 से ज़्यादा होते हैं।
- आवर्ती दशमलव (recurring decimal) से भिन्न: 0.3636… = 36/99 = 4/11। 0.2333… जैसे दशमलव के लिए अनावर्ती भाग घटाएँ: (23 − 2)/90 = 21/90 = 7/30।
उपयोगी योग
- पहली n प्राकृत संख्याओं का योग: n(n + 1)/2। इसलिए 1 + 2 + … + 50 = 50 × 51 ÷ 2 = 1,275।
- पहली n विषम संख्याओं का योग: n²। पहली n सम संख्याओं का योग: n(n + 1)।
- पहली n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग: n(n + 1)(2n + 1)/6। n = 10 के लिए यह 10 × 11 × 21 ÷ 6 = 385 है।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1. 3²³ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।
3 का चक्र 3, 9, 7, 1 है। 23 ÷ 4 से शेषफल 3 बचता है। तीसरा पद 7 है।
उदाहरण 2. 2⁴¹ × 7³⁰ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।
41 ÷ 4 से 1 बचता है, इसलिए 2⁴¹ का अंतिम अंक 2 है। 30 ÷ 4 से 2 बचता है, इसलिए 7³⁰ का अंतिम अंक 9 है (7, 9, 3, 1 का दूसरा पद)।
2 × 9 = 18 का इकाई अंक 8 है।
उदाहरण 3. 72 के कितने गुणनखंड हैं, और उनका योग क्या है?
72 = 2³ × 3²। गुणनखंडों की संख्या: (3 + 1)(2 + 1) = 12।
योग: (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9) = 15 × 13 = 195।
सूची बनाकर जाँच: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72। बारह गुणनखंड, और इनका योग 195 है।
उदाहरण 4. अगर चार अंकों की संख्या 73x4, 9 से विभाज्य है, तो अंक x ज्ञात कीजिए।
अंकों का योग: 7 + 3 + x + 4 = 14 + x। 14 के बाद 9 का अगला गुणज 18 है, इसलिए x = 4। (उसके बाद वाले, 27, के लिए x = 13 चाहिए, जो अंक नहीं है।)
जाँच: 7,344 ÷ 9 = 816।
उदाहरण 5. क्या 4,57,391, 11 से विभाज्य है?
दाईं ओर से अंक: 1, 9, 3, 7, 5, 4। पहले, तीसरे और पाँचवें का योग: 1 + 3 + 5 = 9। दूसरे, चौथे और छठे का योग: 9 + 7 + 4 = 20।
अंतर: 20 − 9 = 11, जो 11 से विभाज्य है। इसलिए हाँ। जाँच: 11 × 41,581 = 4,57,391।
उदाहरण 6. 2¹⁰ को 7 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
2³ = 8 को 7 से भाग देने पर शेषफल 1 बचता है। 2¹⁰ = (2³)³ × 2, इसलिए शेषफल 1 × 1 × 1 × 2 = 2 है।
जाँच: 2¹⁰ = 1,024 = 7 × 146 + 2।
आम गलतियाँ
- इकाई अंक के बजाय पूरी संख्या का चक्र इस्तेमाल करना। 23⁷ के लिए 3 का चक्र इस्तेमाल करें।
- यह भूल जाना कि शेषफल 0 का अर्थ चक्र का अंतिम पद है।
- 1 को अभाज्य मान लेना।
- 12 से विभाज्यता की जाँच 2 और 6 से करना। 3 और 4 से करें, जिनका कोई साझा गुणनखंड नहीं है।
- अंत के शून्य केवल n ÷ 5 से गिनना, और 25, 50, 75 व 100 में छिपे अतिरिक्त 5 भूल जाना।
अभ्यास सेट
- 7¹⁴ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।
- 36 के कितने गुणनखंड हैं?
- क्या 5,39,152, 8 से विभाज्य है?
- 1,000 में कम से कम कौन-सी संख्या जोड़ी जाए कि वह 9 से विभाज्य हो जाए?
- पहली 15 विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
- 50! के अंत में कितने शून्य हैं?
- 0.3636… को सरलतम रूप में भिन्न के रूप में लिखिए।
- किसी संख्या को 36 से भाग देने पर शेषफल 29 बचता है। उसे 12 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?
उत्तर:
- 9। 14 ÷ 4 से 2 बचता है; 7, 9, 3, 1 का दूसरा पद।
- 9। 36 = 2² × 3², इसलिए (2 + 1)(2 + 1) = 9।
- हाँ। अंतिम तीन अंक 152 हैं, और 152 ÷ 8 = 19।
- 8। 1,000 के अंकों का योग 1 है; 8 जोड़ने पर 1,008 मिलता है, जिसके अंकों का योग 9 है।
- 225। 15² = 225।
- 12। 50 ÷ 5 = 10 और 50 ÷ 25 = 2; 10 + 2 = 12।
- 4/11। 36/99, दोनों को 9 से भाग देकर।
- 5। 12, 36 का एक गुणनखंड है, इसलिए शेषफल को भाग दें: 29 = 12 × 2 + 5।
आगे क्या करें
- इकाई अंकों के चक्र और विभाज्यता के नियम एक कार्ड पर लिखें और एक हफ़्ते तक रोज़ दोहराएँ।
- NTPC के पिछले वर्षों के संख्या पद्धति वाले 30 प्रश्न टाइमर के साथ हल करें, हर एक के लिए 40 सेकंड का लक्ष्य रखें।
- इसके बाद LCM और HCF पर जाएँ, जो सीधे अभाज्य गुणनखंडों पर आधारित है।
- गणित की योजना में बताए अनुसार इस विषय को अपने मिश्रित अभ्यास में बनाए रखें।
तारीख़ों और आँकड़ों पर एक बात। परीक्षा का पैटर्न, रिक्तियाँ और कार्यक्रम हर साल बदल सकते हैं। ताज़ा जानकारी हमेशा Railway Recruitment Boards की वेबसाइट पर जारी नवीनतम अधिसूचना में देखें।
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