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क्षेत्रमिति (mensuration) का अर्थ है आकृतियों को मापना। इसमें आप किसी आकृति की सीमा (परिमाप), उसकी सतह (क्षेत्रफल) या उसके भीतर की जगह (आयतन) निकालते हैं। SSC GD में ये प्रश्न रोज़मर्रा के होते हैं: खेत पर बाड़ लगाना, फ़र्श पर टाइल लगाना, कमरे की पुताई, टंकी भरना।
आपको लगभग पंद्रह सूत्र चाहिए और एक आदत: गुणा करने से पहले इकाइयाँ जाँच लें। इस अध्याय के ज़्यादातर गलत उत्तर सेमी और मीटर मिला देने से आते हैं, या वहाँ व्यास ले लेने से, जहाँ सूत्र त्रिज्या माँगता है।
समतल आकृतियाँ (2D)
| आकृति | परिमाप (perimeter) | क्षेत्रफल (area) |
|---|---|---|
| वर्ग (भुजा a) | 4a | a² |
| आयत (लंबाई l, चौड़ाई b) | 2(l + b) | l × b |
| त्रिभुज (आधार b, ऊँचाई h) | तीनों भुजाओं का योग | ½ × b × h |
| वृत्त (त्रिज्या r) | 2πr (परिधि) | πr² |
कुछ और तथ्य जो काम आते हैं:
- वर्ग का विकर्ण (diagonal) = a√2। आयत का विकर्ण = √(l² + b²)।
- समकोण त्रिभुज में, कर्ण² = आधार² + ऊँचाई² (पाइथागोरस प्रमेय)। आम सेट: 3, 4, 5 और 5, 12, 13 और 6, 8, 10।
- व्यास = 2 × त्रिज्या। एक पूरे चक्कर में पहिया अपनी एक परिधि जितना आगे बढ़ता है।
जब तक प्रश्न 3.14 न कहे, π = 22/7 लें। 22/7 के साथ ऐसी त्रिज्या चुनें जो 7 का गुणज हो, ताकि 7 कट जाएँ।
ठोस आकृतियाँ (3D)
| आकृति | आयतन (volume) | संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (total surface area) |
|---|---|---|
| घन (भुजा a) | a³ | 6a² |
| घनाभ (l, b, h) | l × b × h | 2(lb + bh + hl) |
| बेलन (त्रिज्या r, ऊँचाई h) | πr²h | 2πr(r + h) |
बेलन का केवल वक्र पृष्ठ (curved surface) 2πrh होता है। किसी कमरे की चार दीवारों का क्षेत्रफल 2(l + b) × h होता है, यानी फ़र्श और छत को छोड़कर घनाभ का पृष्ठ।
इकाइयाँ और लीटर
| रूपांतरण | मान |
|---|---|
| 1 मीटर | 100 सेमी |
| 1 वर्ग मीटर | 10,000 वर्ग सेमी |
| 1 घन मीटर | 10,00,000 घन सेमी |
| 1 लीटर | 1,000 घन सेमी |
| 1 घन मीटर | 1,000 लीटर |
हल किए हुए उदाहरण
उदाहरण 1. एक आयताकार खेत 40 मीटर लंबा और 25 मीटर चौड़ा है। उसका क्षेत्रफल और ₹15 प्रति मीटर की दर से उस पर बाड़ लगाने का खर्च ज्ञात कीजिए।
- क्षेत्रफल = 40 × 25 = 1,000 वर्ग मीटर।
- परिमाप = 2 × (40 + 25) = 130 मीटर।
- खर्च = 130 × 15 = ₹1,950।
उदाहरण 2. एक पहिये की त्रिज्या 35 सेमी है। 100 पूरे चक्करों में वह कितनी दूरी तय करेगा?
- परिधि = 2 × 22/7 × 35 = 220 सेमी।
- 100 चक्करों में: 220 × 100 = 22,000 सेमी।
- 22,000 सेमी = 220 मीटर।
उदाहरण 3. एक समकोण त्रिभुज का आधार 6 सेमी और ऊँचाई 8 सेमी है। उसका कर्ण और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- कर्ण² = 36 + 64 = 100, इसलिए कर्ण = 10 सेमी।
- क्षेत्रफल = ½ × 6 × 8 = 24 वर्ग सेमी।
उदाहरण 4. एक कमरा 5 मीटर लंबा, 4 मीटर चौड़ा और 3 मीटर ऊँचा है। ₹20 प्रति वर्ग मीटर की दर से उसकी चार दीवारों की पुताई का खर्च ज्ञात कीजिए।
- चार दीवारों का क्षेत्रफल = 2 × (5 + 4) × 3 = 54 वर्ग मीटर।
- खर्च = 54 × 20 = ₹1,080।
उदाहरण 5. एक बेलनाकार टंकी की त्रिज्या 70 सेमी और ऊँचाई 2 मीटर है। उसमें कितने लीटर पानी आएगा?
- मीटर में बदलें: r = 0.7 मीटर, h = 2 मीटर।
- आयतन = 22/7 × 0.7 × 0.7 × 2 = 3.08 घन मीटर।
- 3.08 × 1,000 = 3,080 लीटर।
उदाहरण 6. 6 सेमी भुजा वाले घन से 2 सेमी भुजा वाले कितने घन काटे जा सकते हैं?
- बड़े घन का आयतन = 6³ = 216 घन सेमी। छोटे घन का आयतन = 2³ = 8 घन सेमी।
- संख्या = 216 ÷ 8 = 27। (जाँच: हर किनारे पर 3 छोटे घन आते हैं, और 3 × 3 × 3 = 27।)
भुजाएँ बदलने पर क्या होता है
| बदलाव | असर |
|---|---|
| वर्ग की भुजा दोगुनी | क्षेत्रफल × 4 |
| वृत्त की त्रिज्या दोगुनी | क्षेत्रफल × 4, परिधि × 2 |
| घन की भुजा दोगुनी | आयतन × 8 |
| बेलन की त्रिज्या दोगुनी, ऊँचाई वही | आयतन × 4 |
क्षेत्रफल बदलाव के वर्ग के हिसाब से बढ़ता है और आयतन घन के हिसाब से। इससे "कितने गुना" वाले कई प्रश्न बिना सूत्र लगाए हल हो जाते हैं।
आम गलतियाँ
| गलती | सही तरीका |
|---|---|
| व्यास को r मान लेना | पहले व्यास को आधा करें |
| सेमी और मीटर मिला देना | पहले सब कुछ एक इकाई में बदलें |
| 1 वर्ग मीटर = 100 वर्ग सेमी मानना | 1 वर्ग मीटर = 10,000 वर्ग सेमी |
| बाड़ का खर्च क्षेत्रफल पर निकालना | बाड़ में परिमाप लगता है; टाइल में क्षेत्रफल |
| त्रिभुज के सूत्र में ½ भूल जाना | क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई |
अभ्यास सेट
- एक वर्ग का परिमाप 64 मीटर है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- एक आयत का क्षेत्रफल 180 वर्ग मीटर और लंबाई 15 मीटर है। उसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
- एक वृत्त की परिधि 88 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)
- 12 सेमी आधार और 9 सेमी ऊँचाई वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 12 सेमी × 5 सेमी वाले आयत का विकर्ण ज्ञात कीजिए।
- 5 सेमी भुजा वाले घन का आयतन और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- एक टंकी 3 मीटर लंबी, 2 मीटर चौड़ी और 1.5 मीटर गहरी है। उसमें कितने लीटर पानी आएगा?
- 7 सेमी त्रिज्या और 10 सेमी ऊँचाई वाले बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
- भुजा = 64 ÷ 4 = 16 मीटर। क्षेत्रफल = 256 वर्ग मीटर।
- चौड़ाई = 180 ÷ 15 = 12 मीटर। परिमाप = 2 × 27 = 54 मीटर।
- 2 × 22/7 × r = 88, इसलिए r = 14 सेमी। क्षेत्रफल = 22/7 × 14 × 14 = 616 वर्ग सेमी।
- ½ × 12 × 9 = 54 वर्ग सेमी।
- √(144 + 25) = √169 = 13 सेमी।
- आयतन = 125 घन सेमी। पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × 25 = 150 वर्ग सेमी।
- 3 × 2 × 1.5 = 9 घन मीटर = 9,000 लीटर।
- 22/7 × 7 × 7 × 10 = 1,540 घन सेमी।
आगे क्या करें
- एक हफ़्ते तक रोज़ एक बार 2D और 3D वाली तालिकाएँ बिना देखे लिखें।
- बाड़ के पाँच और फ़र्श के पाँच प्रश्न हल करें, और हर प्रश्न से पहले "परिमाप" या "क्षेत्रफल" लिख लें।
- वर्ग और वर्गमूल दोहराएँ, जो विकर्ण और त्रिज्या वाले प्रश्नों में चाहिए।
- आख़िरी हफ़्ते के लिए सूत्रों को गणित की दोहराव (revision) शीट पर रखें।
तारीख़ों और आँकड़ों पर एक बात। परीक्षा का पैटर्न, रिक्तियाँ और कार्यक्रम हर साल बदल सकते हैं। ताज़ा जानकारी हमेशा Staff Selection Commission की वेबसाइट पर जारी नवीनतम अधिसूचना में देखें।
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