SSC GD के लिए समय और कार्य

समय और कार्य (time and work) के प्रश्न पूछते हैं कि कोई काम कितने समय में पूरा होगा जब लोग अकेले, मिलकर या बारी-बारी से काम करें। भिन्नों का सीधा प्रयोग करें, तो वे उलझ सकती हैं। साफ़ तरीका यह है कि काम को कुछ इकाइयाँ (units) मान लें, आम तौर पर दिए गए दिनों का LCM, ताकि हर चरण में पूर्ण संख्याएँ ही आएँ।

यह एक विधि सीख लें, तो यह लगभग हर तरह के प्रश्न पर काम करती है: मज़दूर, टंकी भरने वाले नल, बीच में काम छोड़ने वाला व्यक्ति, और मज़दूरी का बँटवारा भी। यह LCM और अनुपात पर टिकी है, इसलिए अगर वे कच्चे लगें, तो उन्हें दोहरा लें।

मूल विचार

अगर कोई व्यक्ति कोई काम n दिन में पूरा करता है, तो वे हर दिन काम का 1/n हिस्सा करते हैं। दो लोग मिलकर काम करें, तो उनका एक दिन का काम जुड़ जाता है।

दो विधियों की तुलना

दोनों से एक ही उत्तर आता है। परीक्षा में इकाई विधि तेज़ है, क्योंकि आप 1/10 + 1/15 के बजाय 3 + 2 जोड़ते हैं।

इकाई विधि के चरण

1. कुल काम = दिए गए सभी दिनों (या घंटों) का LCM लें।
2. हर व्यक्ति का प्रतिदिन का काम निकालें: कुल ÷ उनके दिन।
3. प्रतिदिन का काम जोड़ें (या खाली करने वाले नल के लिए घटाएँ)।
4. समय = किया जाने वाला काम ÷ प्रतिदिन का काम।

कार्यक्षमता

"A, B से दोगुना कार्यक्षम (efficient) है" का अर्थ है कि B जितनी 1 इकाई करता है, उतने में A रोज़ 2 इकाई करता है। इसलिए A, B से आधा समय लेता है। कार्यक्षमता (efficiency) और समय व्युत्क्रम समानुपात में होते हैं।

व्यक्ति, दिन और घंटे

जब काम तय हो, तो कुल मेहनत वही रहती है:

M1 × D1 × H1 = M2 × D2 × H2

M मज़दूरों की संख्या है, D दिन और H प्रतिदिन के घंटे। अगर प्रश्न में घंटों का ज़िक्र न हो, तो H छोड़ दें।

नल और टंकी

भरने वाला नल (pipe) एक मज़दूर की तरह काम करता है। खाली करने वाला नल या रिसाव (leak) उनके ख़िलाफ़ काम करता है, इसलिए उसकी इकाइयाँ घटाएँ।

मज़दूरी का बँटवारा

मज़दूरी किए गए काम के अनुपात में बाँटी जाती है। अगर दोनों ने बराबर दिन काम किया, तो यह उनके प्रतिदिन के काम का अनुपात है, जो उनके अलग-अलग समय का उलटा अनुपात है।

हल किए हुए उदाहरण

उदाहरण 1. A कोई काम 12 दिन में और B 18 दिन में पूरा कर सकता है। दोनों मिलकर कितने दिन लेंगे?

1. कुल काम = LCM(12, 18) = 36 इकाइयाँ।
2. A रोज़ 36 ÷ 12 = 3 इकाइयाँ करता है; B 36 ÷ 18 = 2।
3. मिलकर: रोज़ 5 इकाइयाँ।
4. समय = 36 ÷ 5 = 7⅕ दिन (7.2 दिन)।

उदाहरण 2. A, B और C कोई काम क्रमशः 10, 15 और 30 दिन में कर सकते हैं। तीनों मिलकर कितने दिन लेंगे?

1. कुल = LCM(10, 15, 30) = 30 इकाइयाँ।
2. प्रतिदिन का काम: A 3, B 2, C 1। मिलकर: 6 इकाइयाँ।
3. समय = 30 ÷ 6 = 5 दिन।

उदाहरण 3. A कोई काम 20 दिन में और B 30 दिन में कर सकता है। वे 6 दिन मिलकर काम करते हैं, फिर A चला जाता है। बाकी काम पूरा करने में B कितने दिन लेगा?

1. कुल = LCM(20, 30) = 60 इकाइयाँ। A रोज़ 3 करता है; B 2।
2. 6 दिन में मिलकर: 6 × 5 = 30 इकाइयाँ।
3. बचा काम: 60 − 30 = 30 इकाइयाँ।
4. B अकेले: 30 ÷ 2 = 15 दिन।

उदाहरण 4. A, B से दोगुना कार्यक्षम है। दोनों मिलकर कोई काम 12 दिन में पूरा करते हैं। A अकेले कितने दिन लेगा?

1. मान लें A रोज़ 2 इकाई और B 1 इकाई करता है।
2. कुल काम = 12 × (2 + 1) = 36 इकाइयाँ।
3. A अकेले: 36 ÷ 2 = 18 दिन। (B अकेले 36 दिन लेगा।)

उदाहरण 5. 12 मज़दूर, रोज़ 8 घंटे काम करके, कोई काम 10 दिन में पूरा करते हैं। 20 मज़दूर, रोज़ 6 घंटे काम करके, कितने दिन लेंगे?

1. M1 × D1 × H1 = 12 × 10 × 8 = 960।
2. 20 × D2 × 6 = 960, इसलिए 120 × D2 = 960।
3. D2 = 8 दिन।

उदाहरण 6. नल A और B एक टंकी को 10 और 15 घंटे में भर सकते हैं। नल C उसे 12 घंटे में खाली कर सकता है। अगर तीनों एक साथ खोल दिए जाएँ, तो टंकी भरने में कितना समय लगेगा?

1. कुल = LCM(10, 15, 12) = 60 इकाइयाँ।
2. A प्रति घंटा 6 भरता है, B 4 भरता है, C 5 खाली करता है।
3. शुद्ध: 6 + 4 − 5 = प्रति घंटा 5 इकाइयाँ।
4. समय = 60 ÷ 5 = 12 घंटे।

उदाहरण 7. A कोई काम 10 दिन में और B 15 दिन में कर सकता है। मिलकर काम करके वे ₹1,500 कमाते हैं। पैसे कैसे बाँटे जाएँ?

1. प्रतिदिन का काम (कुल 30 इकाइयाँ): A 3, B 2।
2. वे बराबर दिन काम करते हैं, इसलिए 3 : 2 के अनुपात में बाँटें।
3. A को ₹900, B को ₹600 मिलते हैं।

आम गलतियाँ

अभ्यास सेट

1. A कोई काम 15 दिन में और B 10 दिन में पूरा कर सकता है। दोनों मिलकर कितने दिन लेंगे?
2. A और B मिलकर कोई काम 8 दिन में पूरा करते हैं। A अकेले 12 दिन लेता है। B अकेले कितने दिन लेगा?
3. A, B और C कोई काम 12, 15 और 20 दिन में कर सकते हैं। तीनों मिलकर कितने दिन लेंगे?
4. A, B से तीन गुना कार्यक्षम है। B अकेले 24 दिन लेता है। दोनों मिलकर कितने दिन लेंगे?
5. 9 मज़दूर एक दीवार 12 दिन में बना सकते हैं। 12 मज़दूर कितने दिन लेंगे?
6. A कोई काम 18 दिन में और B 24 दिन में कर सकता है। वे 4 दिन मिलकर काम करते हैं, फिर B चला जाता है। बाकी काम पूरा करने में A कितने दिन लेगा?
7. एक नल टंकी को 6 घंटे में भरता है, पर एक रिसाव भरी टंकी को 9 घंटे में खाली कर देता है। दोनों के चलते, टंकी भरने में कितना समय लगेगा?
8. A कोई काम 6 दिन में और B 12 दिन में कर सकता है। मिलकर वे ₹1,800 कमाते हैं। हर एक का हिस्सा ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. कुल 30: A 2, B 3, मिलकर 5। 30 ÷ 5 = 6 दिन।
2. कुल 24: A + B = 3, A = 2, इसलिए B = 1। B अकेले: 24 दिन।
3. कुल 60: 5 + 4 + 3 = 12। 60 ÷ 12 = 5 दिन।
4. B 1 इकाई करता है, कुल 24। A 3 करता है। मिलकर रोज़ 4: 6 दिन।
5. 9 × 12 ÷ 12 = 9 दिन।
6. कुल 72: A 4, B 3। 4 दिन में: 28 इकाइयाँ। बचा 44 ÷ 4 = 11 दिन।
7. कुल 18: भरना 3, रिसाव 2, शुद्ध 1। 18 घंटे।
8. कुल 12: A 2, B 1। अनुपात 2 : 1: A ₹1,200, B ₹600।

आगे क्या करें

• केवल इकाई विधि से 15 प्रश्न हल करें।
• एक खाली करने वाले नल वाले पाँच प्रश्नों का अभ्यास करें।
• M × D × H सीखें और ऐसे तीन प्रश्न आज़माएँ जिनमें घंटे बदलते हैं।
• समय और दूरी पर जाएँ, जिसमें दर का यही विचार आता है।