RRB NTPC के लिए समय, चाल और दूरी: विधियाँ, पैटर्न और अभ्यास

रेलवे की परीक्षा में चाल (speed) के प्रश्न स्वाभाविक लगते हैं, और ये NTPC गणित का एक नियमित हिस्सा हैं। ये दो और अध्यायों का आधार भी हैं: रेलगाड़ी पर आधारित प्रश्न और नाव और धारा इसी अध्याय में एक-एक नया विचार जोड़कर बनते हैं। यहाँ आधार पक्का कर लें, तो वे दोनों आसान हो जाते हैं।

अच्छी बात यह है कि लगभग सब कुछ एक ही संबंध से निकलता है। बुरी बात यह है कि ज़्यादातर गलत उत्तर इकाइयों में लापरवाही और चालों का गलत तरीके से औसत निकालने से आते हैं। दोनों को सुधारा जा सकता है।

एक ही संबंध

• दूरी = चाल × समय
• चाल = दूरी ÷ समय
• समय = दूरी ÷ चाल

कुछ भी गणना करने से पहले इकाइयाँ (units) मिला लें। अगर चाल km/h में है, तो समय घंटों में और दूरी km में होनी चाहिए। अगर चाल m/s में है, तो सेकंड और मीटर का प्रयोग करें।

km/h और m/s के बीच बदलना

5/18 क्यों: 1 km/h का अर्थ है 3,600 सेकंड में 1,000 मीटर, यानी 1,000/3,600 = 5/18 m/s। उल्टी दिशा में बदलने के लिए उसके व्युत्क्रम, 18/5, से गुणा करें।

18 km/h के गुणज वाली चालें पूर्ण संख्याओं में बदलती हैं: 18 → 5, 36 → 10, 54 → 15, 72 → 20, 90 → 25, 108 → 30 m/s। यह सूची याद कर लें, तो रेलगाड़ी के कई प्रश्न मन में ही हल हो जाते हैं।

अनुपात वाले शॉर्टकट

कई प्रश्नों में केवल एक राशि बदलती है। तब पूरे सूत्र की ज़रूरत नहीं पड़ती।

क्यों: अगर d = s × t है और d स्थिर है, तो s बढ़ाने पर t उसी गुणक से घटना चाहिए। इसलिए अगर कोई व्यक्ति सामान्य चाल की 3/4 चाल से चलता है, तो वही यात्रा सामान्य समय का 4/3 लेती है। सामान्य समय का अतिरिक्त 1/3 ही देरी है, और यही एक तथ्य "देर से पहुँचने" वाले प्रश्नों का पूरा परिवार हल कर देता है।

औसत चाल

औसत चाल (average speed) = कुल दूरी ÷ कुल समय। यह चालों का औसत नहीं है।

• चाल a और b से बराबर दूरियाँ: औसत = 2ab ÷ (a + b)।
• चाल a और b से बराबर समय: औसत = (a + b) ÷ 2।

ये अलग क्यों हैं: आने-जाने की यात्रा में आप धीमी चाल पर ज़्यादा समय बिताते हैं, इसलिए धीमी चाल औसत को नीचे खींचती है। हर ओर d दूरी हो, तो कुल समय d/a + d/b है और कुल दूरी 2d। भाग देने पर 2ab/(a + b) मिलता है। जब समय बराबर होते हैं, तो हर चाल का बराबर महत्त्व होता है, इसलिए साधारण औसत सही है।

a, b और c चालों से तीन बराबर दूरियों के लिए, औसत = 3 ÷ (1/a + 1/b + 1/c)।

सापेक्ष चाल: मिलना और पीछा करना

क्यों: जब दो लोग एक-दूसरे की ओर आते हैं, तो उनके बीच का अंतर हर घंटे दोनों की तय की गई दूरियों जितना घटता है। जब एक दूसरे का पीछा करता है, तो अंतर केवल दोनों के अंतर जितना घटता है।

अगर कोई बाद में चलना शुरू करे, तो पहले यह निकालें कि दूसरे के चलने के क्षण पर दोनों के बीच कितना अंतर है। फिर सापेक्ष चाल (relative speed) लगाएँ।

देर और जल्दी

कोई व्यक्ति वही दूरी d दो चालों से तय करता है। धीमी चाल पर वह देर से पहुँचता है; तेज़ चाल पर जल्दी। कुल समय-अंतर (देरी के मिनट + जल्दी के मिनट) होता है, क्योंकि दोनों एक ही सही समय से मापे जाते हैं।

d/s₁ − d/s₂ = घंटों में कुल अंतर, जिससे d = s₁ × s₂ × अंतर ÷ (s₂ − s₁) मिलता है।

ठहराव

कोई रेलगाड़ी बिना रुके S km/h की औसत चाल से और रुकते हुए s km/h की औसत चाल से चलती है, तो वह हर घंटे (S − s) km की दौड़ खो देती है। S चाल से उतनी दूरी तय करने में (S − s)/S घंटे लगते हैं।

प्रति घंटा रुकने के मिनट = (S − s) ÷ S × 60।

NTPC स्तर के हल किए गए प्रश्न

प्रश्न 1. एक बस 3 घंटे में 162 km तय करती है। उसकी चाल m/s में ज्ञात कीजिए।

चाल = 162 ÷ 3 = 54 km/h। 54 × 5/18 = 15 m/s।

प्रश्न 2. एक व्यक्ति किसी कस्बे तक 40 km/h से जाता है और 60 km/h से लौटता है। औसत चाल ज्ञात कीजिए।

बराबर दूरियाँ: 2 × 40 × 60 ÷ (40 + 60) = 4,800 ÷ 100 = 48 km/h।
120 km दूरी लेकर जाँच: 3 घंटे + 2 घंटे = 240 km के लिए 5 घंटे, यानी 48 km/h।

प्रश्न 3. सामान्य चाल की 3/4 चाल से चलकर एक व्यक्ति दफ़्तर 20 मिनट देर से पहुँचता है। सामान्य समय क्या है?

नया समय = सामान्य का 4/3, इसलिए सामान्य समय का अतिरिक्त 1/3 = 20 मिनट।
सामान्य समय = 60 मिनट।

प्रश्न 4. 4 km/h से चलकर एक व्यक्ति स्टेशन 10 मिनट देर से पहुँचता है। 5 km/h से वह 5 मिनट जल्दी पहुँचता है। दूरी ज्ञात कीजिए।

कुल अंतर = 15 मिनट = 1/4 घंटा।
d = 4 × 5 × 1/4 ÷ (5 − 4) = 5 km।
जाँच: 4 km/h से 75 मिनट और 5 km/h से 60 मिनट, यानी 15 मिनट का अंतर।

प्रश्न 5. स्टेशन P और Q के बीच 300 km की दूरी है। एक रेलगाड़ी सुबह 8 बजे P से Q की ओर 60 km/h से चलती है। दूसरी सुबह 9 बजे Q से P की ओर 40 km/h से चलती है। वे कब मिलेंगी?

सुबह 9 बजे तक पहली रेलगाड़ी 60 km तय कर चुकी है, इसलिए अंतर 240 km है।
सापेक्ष चाल = 100 km/h। समय = 240 ÷ 100 = 2.4 घंटे = 2 घंटे 24 मिनट।
वे सुबह 11:24 बजे मिलती हैं, P से 204 km पर।

प्रश्न 6. बिना ठहराव के एक रेलगाड़ी 60 km/h से चलती है; ठहराव सहित उसकी औसत चाल 45 km/h है। वह प्रति घंटा कितने मिनट रुकती है?

(60 − 45) ÷ 60 × 60 = 15 मिनट।

आम गलतियाँ

• इकाइयाँ मिला देना। km/h वाली चाल के साथ मिनट में समय लेने से बेतुका उत्तर आता है। पहले बदलें।
• चालों का सीधा औसत निकालना। आने-जाने की यात्रा में 40 और 60 से 48 आता है, 50 नहीं।
• केवल देरी के मिनट लेना। देर-और-जल्दी वाले प्रश्नों में अंतर देरी + जल्दी होता है।
• पहले की बढ़त भूल जाना। अगर कोई बाद में चलता है, तो पहले उस क्षण का अंतर निकालें।
• पीछा करते समय चालें जोड़ना। एक ही दिशा का अर्थ है घटाना।

अभ्यास सेट

1. 54 km/h को m/s में बदलिए।
2. 25 m/s को km/h में बदलिए।
3. एक व्यक्ति एक ही सड़क पर 30 km/h से जाता है और 20 km/h से लौटता है। औसत चाल ज्ञात कीजिए।
4. 400 km दूर दो कारें 45 km/h और 55 km/h से एक-दूसरे की ओर चलती हैं। वे कब मिलेंगी?
5. सामान्य चाल की 5/6 चाल से एक व्यक्ति 12 मिनट देर से पहुँचता है। सामान्य समय क्या है?
6. एक पुलिस अधिकारी को 200 m आगे एक चोर दिखता है। चोर 10 km/h से भागता है और अधिकारी 12 km/h से पीछा करता है। पीछा कितनी देर चलेगा?
7. एक व्यक्ति तीन बराबर दूरियाँ 10, 20 और 60 km/h से तय करता है। औसत चाल ज्ञात कीजिए।
8. एक बस की औसत चाल बिना ठहराव के 54 km/h और ठहराव सहित 45 km/h है। वह प्रति घंटा कितने मिनट रुकती है?

उत्तर:

1. 15 m/s। 54 × 5/18।
2. 90 km/h। 25 × 18/5।
3. 24 km/h। 2 × 30 × 20 ÷ 50।
4. 4 घंटे। 400 ÷ (45 + 55)।
5. 60 मिनट। समय सामान्य का 6/5 हो जाता है; अतिरिक्त 1/5 = 12 मिनट।
6. 6 मिनट। सापेक्ष चाल 2 km/h; 0.2 km ÷ 2 = 0.1 घंटा।
7. 18 km/h। 3 ÷ (1/10 + 1/20 + 1/60) = 3 ÷ (10/60)।
8. 10 मिनट। (54 − 45) ÷ 54 × 60।

आगे क्या करें

• 18 के गुणजों वाली बदलने की सूची तब तक याद करें जब तक 72 → 20 और 90 → 25 तुरंत न आने लगें।
• औसत चाल के 15 प्रश्न हल करें, और गणना से पहले हर एक पर "बराबर दूरियाँ" या "बराबर समय" लिखें।
• मिलने और पीछा करने के 10 प्रश्न करें, हर बार शुरुआती अंतर लिखकर।
• इसके बाद रेलगाड़ी पर आधारित प्रश्न, फिर नाव और धारा पर जाएँ।