RRB NTPC के लिए चक्रवृद्धि ब्याज: सूत्र, शॉर्टकट और अभ्यास

सूत्र में घात (power) होने के कारण चक्रवृद्धि ब्याज (compound interest, CI) साधारण ब्याज (simple interest, SI) से कठिन दिखता है। पर NTPC के प्रश्नों में संख्याएँ इस तरह चुनी जाती हैं कि आपको शायद ही कभी दो या तीन वर्ष से ज़्यादा की गणना करनी पड़े। ज़्यादातर प्रश्न वर्ष-दर-वर्ष विधि से या तीन छोटे सूत्रों में से किसी एक से हो जाते हैं।

यह विषय असल में छिपा हुआ प्रतिशत का विषय भी है। जनसंख्या वृद्धि, किसी मशीन का मूल्यह्रास (depreciation) और क्रमिक प्रतिशत वृद्धि, सभी में एक ही गुणक लगता है। इसे यहाँ सीख लें, तो प्रतिशत के लिए भी यह आपके पास होगा।

सूत्र, और इसमें घात क्यों है

• मिश्रधन = P × (1 + R/100)ⁿ
• CI = मिश्रधन − P

यहाँ n चक्रवृद्धि अवधियों की संख्या है, आम तौर पर वर्ष।

घात क्यों: हर वर्ष के अंत में ब्याज मूलधन में जोड़ दिया जाता है। अगले वर्ष का ब्याज फिर इस बड़ी राशि का R% होता है। इसलिए हर वर्ष पैसा एक ही गुणक (1 + R/100) से गुणा होता है। n वर्षों के बाद आप उससे n बार गुणा कर चुके होते हैं।

वर्ष-दर-वर्ष विधि

2 या 3 वर्षों के लिए एक-एक वर्ष की गणना अक्सर सूत्र से तेज़ होती है, और इससे साफ़ दिखता है कि अतिरिक्त ब्याज कहाँ से आता है।

उदाहरण: ₹10,000 पर 10% वार्षिक दर।

पहले वर्ष में चक्रवृद्धि और साधारण ब्याज बराबर होते हैं। दूसरे वर्ष से चक्रवृद्धि ब्याज अधिक मिलता है, क्योंकि उस पर पहले के ब्याज का भी ब्याज मिल रहा होता है।

भिन्न वाली दरें काम तेज़ करती हैं। 12.5% = 1/8, इसलिए हर वर्ष 9/8 से गुणा होता है। ₹6,400 पर 12.5% से 2 वर्ष: 6,400 × 9/8 × 9/8 = 8,100, इसलिए चक्रवृद्धि ब्याज ₹1,700 है।

प्रभावी दरें (effective rates)। 2 वर्ष के लिए 10% का अर्थ है कुल 10 + 10 + 1 = 21% की वृद्धि (क्रमिक परिवर्तन का नियम a + b + ab/100)। 2 वर्ष के लिए 5% का अर्थ 10.25% है। 2 वर्ष के लिए 8% का अर्थ 16.64% है।

CI और SI का अंतर: अंतर वाले सूत्र

• 2 वर्ष: CI − SI = P × (R/100)²।
• 3 वर्ष: CI − SI = P × (R/100)² × (3 + R/100)।

2 वर्ष वाला सूत्र क्यों काम करता है: पहले वर्ष में चक्रवृद्धि और साधारण ब्याज बराबर मिलते हैं। दूसरे वर्ष में साधारण ब्याज फिर से P का R% देता है, पर चक्रवृद्धि ब्याज पहले वर्ष के ब्याज पर भी R% देता है, जो P × R/100 था। यह अतिरिक्त राशि P × (R/100)² है, और पूरा अंतर यही है।

अर्धवार्षिक और तिमाही चक्रवृद्धि

• अर्धवार्षिक (half-yearly): प्रति अवधि दर = R/2, अवधियों की संख्या = 2n।
• तिमाही (quarterly): प्रति अवधि दर = R/4, अवधियों की संख्या = 4n।

क्यों: "10% वार्षिक, अर्धवार्षिक रूप से संयोजित" का अर्थ है कि हर छह महीने में 5% ब्याज जोड़ा जाता है। बैंक आधी दर दोगुनी बार देता है।

"k गुना हो जाना" वाला नियम

अगर कोई राशि चक्रवृद्धि ब्याज पर n वर्षों में k गुनी हो जाती है, तो वह 2n वर्षों में k² गुनी और 3n वर्षों में k³ गुनी हो जाती है।

क्यों: हर n वर्ष में पैसा k से गुणा होता है। ऐसे दो खंड उसे k × k से गुणा कर देते हैं।

यह नियम साधारण ब्याज पर लागू नहीं होता। जो राशि साधारण ब्याज पर 5 वर्ष में दोगुनी होती है, वह 10 वर्ष में 3 गुनी होती है, 4 गुनी नहीं।

NTPC स्तर के हल किए गए प्रश्न

प्रश्न 1. ₹5,000 पर 10% की दर से 2 वर्ष और 3 वर्ष के चक्रवृद्धि और साधारण ब्याज का अंतर ज्ञात कीजिए।

2 वर्ष: 5,000 × (10/100)² = 5,000 × 0.01 = ₹50।
3 वर्ष: 5,000 × 0.01 × (3 + 0.1) = 50 × 3.1 = ₹155।
3 वर्ष की जाँच: CI = 5,000 × 1.331 − 5,000 = 1,655; SI = 1,500; अंतर 155।

प्रश्न 2. ₹4,000 पर 10% वार्षिक दर से, अर्धवार्षिक रूप से संयोजित, 1 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।

प्रति छमाही दर = 5%, अवधियाँ = 2। मिश्रधन = 4,000 × 1.05 × 1.05 = 4,410।
CI = ₹410। (वार्षिक चक्रवृद्धि से ₹400 मिलते; अतिरिक्त ₹10 पहली छमाही के ब्याज पर मिला ब्याज है।)

प्रश्न 3. कोई राशि चक्रवृद्धि ब्याज पर 5 वर्ष में दोगुनी हो जाती है। कितने वर्षों में वह 8 गुनी हो जाएगी?

8 = 2³, इसलिए 3 × 5 = 15 वर्ष।

प्रश्न 4. ₹5,000 पर 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए, जब पहले वर्ष की दर 10% और दूसरे वर्ष की 20% हो।

मिश्रधन = 5,000 × 1.1 × 1.2 = 6,600। CI = ₹1,600।
एक ही R वाला सूत्र यहाँ लागू नहीं होता; हर वर्ष के गुणक से गुणा करें।

प्रश्न 5. किसी राशि पर 8% की दर से 2 वर्ष के चक्रवृद्धि और साधारण ब्याज का अंतर ₹32 है। राशि ज्ञात कीजिए।

P × (8/100)² = 32, इसलिए P × 0.0064 = 32, और P = ₹5,000।
जाँच: CI = 5,000 × 1.1664 − 5,000 = 832; SI = 800; अंतर 32।

प्रश्न 6. कोई राशि चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 वर्ष में ₹8,820 और 3 वर्ष में ₹9,261 हो जाती है। दर और मूलधन ज्ञात कीजिए।

तीसरे वर्ष का ब्याज 9,261 − 8,820 = 441 है, जो 8,820 पर मिला। दर = 441 ÷ 8,820 × 100 = 5%।
मूलधन = 8,820 ÷ (1.05)² = 8,820 ÷ 1.1025 = ₹8,000।

आम गलतियाँ

• चक्रवृद्धि ब्याज के प्रश्न में साधारण ब्याज का सूत्र लगाना, या इसका उलटा।
• अर्धवार्षिक प्रश्नों में दर को आधा और अवधियों को दोगुना करना भूल जाना।
• प्रश्न ब्याज पूछे और उत्तर में मिश्रधन देना।
• चक्रवृद्धि ब्याज में साधारण ब्याज वाली दो मिश्रधन विधि लगाना। चक्रवृद्धि ब्याज में लगातार दो वर्षों के मिश्रधनों का अंतर, पहले वाले मिश्रधन पर एक वर्ष का ब्याज होता है, मूलधन पर नहीं।
• k गुना वाले नियम को साधारण ब्याज पर लगाना।

अभ्यास सेट

1. ₹5,000 पर 10% की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।
2. ₹20,000 पर 5% की दर से 2 वर्ष का मिश्रधन ज्ञात कीजिए।
3. ₹8,000 पर 5% की दर से 2 वर्ष के चक्रवृद्धि और साधारण ब्याज का अंतर ज्ञात कीजिए।
4. कोई राशि चक्रवृद्धि ब्याज पर 4 वर्ष में दोगुनी हो जाती है। कितने वर्षों में वह 4 गुनी हो जाएगी?
5. ₹1,000 पर 20% वार्षिक दर से, अर्धवार्षिक रूप से संयोजित, 1 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।
6. ₹10,000 पर 10% की दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।
7. कोई राशि चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 वर्ष में ₹6,050 और 3 वर्ष में ₹6,655 हो जाती है। दर और मूलधन ज्ञात कीजिए।
8. ₹6,250 पर 8% की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. ₹1,050। 5,000 × 1.21 = 6,050।
2. ₹22,050। 20,000 × 1.1025।
3. ₹20। 8,000 × (5/100)² = 8,000 × 0.0025।
4. 8 वर्ष। 4 = 2², इसलिए 2 × 4।
5. ₹210। प्रति छमाही 10%, 2 अवधियों के लिए: 1,000 × 1.21 = 1,210।
6. ₹3,310। 10,000 × 1.331 = 13,310।
7. 10% और ₹5,000। 6,655 − 6,050 = 605, और 605 ÷ 6,050 = 10%; 6,050 ÷ 1.21 = 5,000।
8. ₹1,040। 6,250 × 1.1664 = 7,290।

आगे क्या करें

• "परीक्षा की दृष्टि से" वाले बॉक्स की चार घातें और 5%, 10% व 20% की 2 वर्ष वाली प्रभावी दरें याद करें।
• इस हफ़्ते चक्रवृद्धि ब्याज के 15 प्रश्न वर्ष-दर-वर्ष विधि से हल करें, फिर गति की तुलना के लिए उन्हें सूत्र से दोबारा करें।
• CI − SI के दस प्रश्नों का अभ्यास तब तक करें, जब तक 2 वर्ष वाला सूत्र अपने-आप न आने लगे।
• साथ में साधारण ब्याज दोहराएँ, क्योंकि दोनों की तुलना अक्सर एक ही प्रश्न में होती है।