RRB NTPC के लिए समय और कार्य: विधियाँ, पैटर्न और अभ्यास

कई अभ्यर्थी समय और कार्य (time and work) को टालते रहते हैं, क्योंकि शुरुआत के कुछ प्रश्नों में उन्हें उलझे हुए भिन्न दिखते हैं। असल में ऐसा नहीं है। नज़रिया "दिनों" से बदलकर "एक दिन का काम" कर लें, तो लगभग हर प्रश्न पूर्ण संख्याओं का जोड़ और भाग बन जाता है।

यही विधि पाइप और टंकी के प्रश्न भी हल करती है, जो पानी के साथ समय और कार्य ही है। इसे एक बार सीख लें, तो दो विषय आपके हाथ में होंगे।

मुख्य विचार: एक दिन का काम

अगर कोई व्यक्ति कोई काम n दिन में पूरा करता है, तो वह हर दिन काम का 1/n भाग करता है।

यह क्यों ज़रूरी है: दिनों को जोड़ा नहीं जा सकता। अगर A को 10 दिन और B को 15 दिन लगते हैं, तो दोनों मिलकर 25 दिन नहीं लेते, न ही 12.5। पर एक दिन में किए गए काम को जोड़ा जा सकता है, क्योंकि किसी भी एक दिन में दोनों का काम बस इकट्ठा होता जाता है। इसलिए हमेशा दर (rate) में बदलें, दरों को जोड़ें या घटाएँ, फिर वापस समय में बदलें।

विधि 1: भिन्न

• A का एक दिन का काम = 1/a; B का = 1/b।
• दोनों का मिलकर एक दिन का काम = 1/a + 1/b।
• मिलकर लगने वाला समय = 1 ÷ (1/a + 1/b) = ab/(a + b)।

A = 12 दिन और B = 18 दिन के लिए: 12 × 18 ÷ 30 = 7.2 दिन।

विधि 2: कुल काम को LCM मानना

1. दिए गए दिनों के LCM को कुल काम मानें। परिणाम को "इकाइयाँ" कहें।
2. हर व्यक्ति की प्रति दिन इकाइयाँ = कुल काम ÷ उसके दिन।
3. प्रति दिन इकाइयों को जोड़ें या घटाएँ, फिर कुल काम को परिणाम से भाग दें।

A = 12 और B = 18 के लिए: कुल काम = 36 इकाइयाँ। A रोज़ 3 करता है, B रोज़ 2, दोनों मिलकर 5। समय = 36 ÷ 5 = 7 1/5 दिन।

यह क्यों काम करता है: काम का आकार आप खुद चुन सकते हैं, क्योंकि केवल दरें मायने रखती हैं। ऐसा कुल काम चुनने से, जिसे हर दिया गया समय पूरा-पूरा भाग दे, दरें पूर्ण संख्याएँ बनती हैं और भिन्न आख़िरी चरण तक दूर रहते हैं।

दक्षता और समय व्युत्क्रमानुपाती हैं

अगर A, B से दोगुना दक्ष है, तो A आधा समय लेता है। सामान्य रूप में, अगर दक्षता (efficiency) का अनुपात x : y है, तो समय का अनुपात y : x है। "A दोगुना दक्ष है" वाले प्रश्नों को सँभालने का एक उपयोगी तरीका है: B को रोज़ 1 इकाई और A को रोज़ 2 इकाई दें।

व्यक्ति, दिन और घंटे

एक ही काम के लिए, M₁ × D₁ × H₁ = M₂ × D₂ × H₂, जहाँ M काम करने वालों की संख्या है, D दिन हैं और H प्रतिदिन के घंटे हैं। अगर काम की मात्रा बदल जाए, तो हर पक्ष को उसके काम से भाग दें: M₁D₁H₁/W₁ = M₂D₂H₂/W₂।

क्यों: M × D × H कुल व्यक्ति-घंटे गिनता है। एक तय काम के लिए तय संख्या में व्यक्ति-घंटे चाहिए, उन्हें चाहे जैसे बाँटा जाए।

काम और मज़दूरी

जब लोगों को मिलकर किए गए किसी काम के लिए भुगतान मिलता है, तो मज़दूरी (wages) किए गए काम के अनुपात में बँटती है, जो उनकी दक्षता गुणा उनके काम के दिनों के बराबर है। अगर उन्होंने बराबर दिन काम किया, तो दक्षताओं के अनुपात में बाँटें।

NTPC स्तर के हल किए गए प्रश्न

प्रश्न 1. A कोई काम 20 दिन में पूरा कर सकता है। A 5 दिन काम करता है, फिर बचा हुआ काम B 9 दिन में पूरा करता है। B अकेले कितने दिन लेगा?

5 दिन में A काम का 5/20 = 1/4 भाग करता है, 3/4 बचता है।
B, 3/4 काम 9 दिन में करता है, इसलिए पूरा काम 9 × 4/3 = 12 दिन में।

प्रश्न 2. A, B से दोगुना दक्ष है। दोनों मिलकर कोई काम 12 दिन में पूरा करते हैं। A अकेले कितने दिन लेगा?

मान लें B रोज़ 1 इकाई और A रोज़ 2 इकाई करता है। दोनों मिलकर रोज़ 3 इकाई, इसलिए काम 3 × 12 = 36 इकाई है।
A अकेले = 36 ÷ 2 = 18 दिन।

प्रश्न 3. 12 कर्मचारी, रोज़ 8 घंटे काम करके, कोई काम 20 दिन में पूरा करते हैं। 16 कर्मचारी रोज़ 10 घंटे काम करके कितने दिन लेंगे?

12 × 8 × 20 = 16 × 10 × D, इसलिए 1,920 = 160D, और D = 12 दिन।

प्रश्न 4. A, B और C तीन कर्मचारी हैं। A और B मिलकर कोई काम 12 दिन में, B और C 15 दिन में, और C और A 20 दिन में पूरा करते हैं। तीनों मिलकर कितने दिन लेंगे?

कुल काम = 12, 15 और 20 का LCM = 60 इकाई।
A + B = रोज़ 5, B + C = रोज़ 4, C + A = रोज़ 3। जोड़ने पर: 2(A + B + C) = 12, इसलिए A + B + C = रोज़ 6।
तीनों मिलकर = 60 ÷ 6 = 10 दिन।

प्रश्न 5. A कोई काम 12 दिन में और B 18 दिन में कर सकता है। वे एक-एक दिन बारी-बारी से काम करते हैं, शुरुआत A से होती है। काम कितने दिनों में पूरा होगा?

कुल = 36 इकाई। A रोज़ 3 करता है, B रोज़ 2। हर दो दिन का चक्र 5 इकाई करता है।
7 चक्रों (14 दिन) के बाद 35 इकाई हो चुकी हैं और 1 इकाई बची है।
15वाँ दिन A की बारी है। 1 इकाई के लिए A को दिन का 1/3 भाग चाहिए। कुल = 14 1/3 दिन।

प्रश्न 6. A कोई काम 10 दिन में और B 15 दिन में कर सकता है। मिलकर वे इसे पूरा करते हैं और उन्हें ₹3,000 मिलते हैं। पैसा कैसे बँटना चाहिए?

दरें: 1/10 और 1/15, अनुपात 3 : 2। उन्होंने बराबर दिन काम किया, इसलिए किया गया काम भी 3 : 2 है।
A को 3,000 का 3/5 = ₹1,800; B को ₹1,200।

आम गलतियाँ

• दरों की जगह दिनों को जोड़ना। पहले हमेशा एक दिन के काम में बदलें।
• यह भूल जाना कि ज़्यादा कर्मचारियों को कम दिन लगते हैं। कर्मचारी और दिन व्युत्क्रमानुपाती हैं।
• जब कोई बीच में छोड़े या जुड़े, तो पहले हो चुके काम को अनदेखा करना।
• बारी-बारी वाले प्रश्नों में पूरा दिन गिन लेना। आख़िरी व्यक्ति को दिन का केवल कुछ भाग चाहिए हो सकता है।
• मज़दूरी को लगने वाले दिनों के अनुपात में बाँटना। किए गए काम के अनुपात में बाँटें, जो साथ काम करने पर दिनों का व्युत्क्रम अनुपात होता है।

अभ्यास सेट

1. किसी काम को A 10 दिन में और B 15 दिन में करता है। दोनों मिलकर कितने दिन लेंगे?
2. A और B मिलकर 8 दिन लेते हैं; A अकेले 12 दिन लेता है। B अकेले कितने दिन लेता है?
3. 8 कर्मचारी कोई काम 15 दिन में पूरा करते हैं। 10 कर्मचारी कितने दिन लेंगे?
4. A, B से दोगुनी तेज़ी से काम करता है। B अकेले 30 दिन लेता है। दोनों मिलकर कितने दिन लेंगे?
5. A को 20 दिन और B को 30 दिन लगते हैं। वे 6 दिन मिलकर काम करते हैं, फिर A छोड़ देता है। B को और कितने दिन लगेंगे?
6. A और B मिलकर कोई काम 10 दिन में, B और C 12 दिन में, और C और A 15 दिन में कर सकते हैं। A, B और C मिलकर कितने दिन लेंगे?
7. 20 कर्मचारी रोज़ 6 घंटे काम करके कोई काम 12 दिन में पूरा कर सकते हैं। इसे रोज़ 8 घंटे काम करके 10 दिन में पूरा करने के लिए कितने कर्मचारी चाहिए?
8. A कोई काम 12 दिन में और B 16 दिन में कर सकता है। वे इसे मिलकर पूरा करते हैं और उन्हें ₹5,600 मिलते हैं। A का हिस्सा ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. 6 दिन। LCM 30: A रोज़ 3, B रोज़ 2; 30 ÷ 5।
2. 24 दिन। LCM 24: मिलकर 3, A 2, इसलिए B रोज़ 1।
3. 12 दिन। 8 × 15 = 10 × D।
4. 10 दिन। A को 15 दिन लगते हैं। LCM 30: A 2, B 1; 30 ÷ 3।
5. 15 दिन। LCM 60: A 3, B 2; 6 दिन × 5 = 30 इकाई; बाकी 30 इकाई B रोज़ 2 की दर से करता है।
6. 8 दिन। LCM 60: 6 + 5 + 4 = 15 = 2(A + B + C), इसलिए रोज़ 7.5; 60 ÷ 7.5 = 8।
7. 18 कर्मचारी। 20 × 12 × 6 = M × 10 × 8, इसलिए 1,440 = 80M।
8. ₹3,200। दरें 1/12 : 1/16 = 4 : 3; A को 5,600 का 4/7 मिलता है।

आगे क्या करें

• समय और कार्य के 20 प्रश्न केवल LCM विधि से हल करें, जब तक कुल काम चुनना अपने-आप न होने लगे।
• "जोड़ियों में मिलकर" (A + B, B + C, C + A) वाले पाँच और बारी-बारी से काम वाले पाँच प्रश्नों का अभ्यास करें।
• सीधे पाइप और टंकी पर जाएँ, जिसमें यही विधि लगती है, और अगर LCM वाला चरण धीमा है तो LCM और HCF दोहराएँ।