RRB Group D के लिए त्रिकोणमिति

RRB Group D में त्रिकोणमिति (trigonometry) कक्षा 10 के स्तर पर रहती है। प्रश्न चार तरह के होते हैं: तालिका से मान रखना, किसी सर्वसमिका से सरल करना, पूरक कोणों का उपयोग (sin 35° ÷ cos 55°), और ऊँचाई और दूरी के सरल प्रश्न।

कई अभ्यर्थी यह टॉपिक छोड़ देते हैं, क्योंकि इसका नाम कठिन लगता है। यह गलती है। एक तालिका और तीन सर्वसमिकाएँ आ जाएँ, तो ये प्रश्न गणित खंड के सबसे जल्दी मिलने वाले अंकों में से हैं।

छह अनुपात

एक समकोण त्रिभुज लें और उसका एक न्यून कोण θ। भुजाओं के नाम θ की दृष्टि से रखें: θ के सामने वाली भुजा सम्मुख भुजा (opposite) या लंब है, θ से सटी भुजा (कर्ण को छोड़कर) संलग्न भुजा (adjacent) या आधार है, और सबसे लंबी भुजा कर्ण (hypotenuse) है।

दो संबंध समय बचाते हैं: tan θ = sin θ ÷ cos θ, और cot θ = cos θ ÷ sin θ।

मानों की तालिका

बाकी तीन पंक्तियाँ इनके व्युत्क्रम हैं। उदाहरण के लिए, sec 60° = 2, cosec 30° = 2 और cot 60° = 1/√3।

तीन सर्वसमिकाएँ

• sin²θ + cos²θ = 1
• sec²θ − tan²θ = 1, जो 1 + tan²θ = sec²θ के समान है
• cosec²θ − cot²θ = 1, जो 1 + cot²θ = cosec²θ के समान है

प्रश्न अक्सर इन्हें छिपाकर पूछते हैं। जैसे, 1 − sin²θ असल में cos²θ ही है, और sec²θ − 1 असल में tan²θ ही है।

पूरक कोण

जिन दो कोणों का योग 90° हो, वे पूरक कोण (complementary angles) होते हैं। उनके लिए:

• sin(90° − θ) = cos θ, और cos(90° − θ) = sin θ
• tan(90° − θ) = cot θ, और cot(90° − θ) = tan θ
• sec(90° − θ) = cosec θ, और cosec(90° − θ) = sec θ

इसलिए sin 35° = cos 55°, और tan 20° × tan 70° = tan 20° × cot 20° = 1। जब ऐसे दो कोण दिखें जो तालिका में नहीं हैं, तो देखें कि कहीं उनका योग 90° तो नहीं।

ऊँचाई और दूरी

• उन्नयन कोण (angle of elevation) क्षैतिज रेखा से ऊपर की ओर, आपसे ऊँची किसी वस्तु तक मापा जाता है।
• अवनमन कोण (angle of depression) क्षैतिज रेखा से नीचे की ओर, आपसे नीची किसी वस्तु तक मापा जाता है।

यहाँ लगभग हर प्रश्न एक क्षैतिज दूरी देता है और ऊँचाई पूछता है (या उल्टा)। ऊँचाई और क्षैतिज दूरी को जोड़ने वाला अनुपात tan है। sin या cos तभी लगाएँ जब तिरछी लंबाई (सीढ़ी, पतंग की डोर) दी गई हो या पूछी गई हो।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: 2 sin 30° + 3 tan 45° − cos 0° ज्ञात करें।

• 2 × 1/2 + 3 × 1 − 1 = 1 + 3 − 1 = 3।

उदाहरण 2: यदि tan θ = 5/12 है, तो sin θ और cos θ ज्ञात करें।

• सम्मुख भुजा = 5, संलग्न भुजा = 12। कर्ण 13 है (5, 12, 13 वाला त्रिक)।
• sin θ = 5/13; cos θ = 12/13।

उदाहरण 3: sin 35° ÷ cos 55° ज्ञात करें।

• 35 + 55 = 90, इसलिए sin 35° = cos 55°।
• मान 1 है।

उदाहरण 4: (1 − sin²θ) × sec²θ को सरल करें।

• 1 − sin²θ = cos²θ, और sec²θ = 1 ÷ cos²θ।
• गुणनफल 1 है।

उदाहरण 5: एक मीनार के आधार से 30√3 मी दूर स्थित एक बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।

• tan 30° = ऊँचाई ÷ 30√3, इसलिए 1/√3 = ऊँचाई ÷ 30√3।
• ऊँचाई = 30√3 ÷ √3 = 30 मी।

उदाहरण 6: एक सीढ़ी दीवार से टिकी है और ज़मीन के साथ 60° का कोण बनाती है। उसका निचला सिरा दीवार से 4 मी दूर है। सीढ़ी कितनी लंबी है?

• सीढ़ी कर्ण है, और 4 मी वाली भुजा 60° के कोण से सटी है। इसलिए cos लगाएँ।
• cos 60° = 4 ÷ लंबाई, इसलिए 1/2 = 4 ÷ लंबाई, और लंबाई 8 मी है।

आम गलतियाँ

• 30° और 60° के मान आपस में बदल देना, जैसे sin 30° = √3/2 लिख देना।
• जब क्षैतिज दूरी पता हो और ऊँचाई चाहिए, तब sin लगाना। tan लगाएँ।
• sin²θ को sin(θ²) समझना। इसका अर्थ (sin θ)² है।
• tan 90° = 1 या 0 लिखना। यह अपरिभाषित है।
• जब 20√3 ÷ √3 सरल होकर 20 बनता है, तब उत्तर 20√3 दे देना। √3 ÷ √3 को हमेशा सरल करें।

अभ्यास सेट

1. cos 60° + sin 30° ज्ञात करें।
2. tan 30° × tan 60° ज्ञात करें।
3. यदि sin θ = 8/17 है और θ न्यून कोण है, तो cos θ ज्ञात करें।
4. एक खंभा 20√3 मी ऊँचा है। ज़मीन के एक बिंदु से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60° है। वह बिंदु खंभे के आधार से कितनी दूर है?
5. cosec²θ − cot²θ का मान ज्ञात करें।
6. sin²30° + cos²60° ज्ञात करें।
7. cos 40° ÷ sin 50° ज्ञात करें।
8. एक पतंग 100 मी लंबी डोर पर उड़ रही है। डोर ज़मीन के साथ 30° का कोण बनाती है। पतंग कितनी ऊँचाई पर है (मान लें कि डोर सीधी है)?

उत्तर:

1. 1। 1/2 + 1/2।
2. 1। 1/√3 × √3।
3. 15/17। सम्मुख भुजा 8, कर्ण 17, इसलिए संलग्न भुजा 15 है (8, 15, 17)।
4. 20 मी। tan 60° = 20√3 ÷ दूरी, इसलिए √3 = 20√3 ÷ दूरी।
5. 1। यह तीन सर्वसमिकाओं में से एक है।
6. 1/2। 1/4 + 1/4।
7. 1। 40 + 50 = 90, इसलिए cos 40° = sin 50°।
8. 50 मी। डोर कर्ण है: sin 30° = ऊँचाई ÷ 100, इसलिए ऊँचाई = 100 × 1/2।

आगे क्या करें

• एक हफ़्ते तक हर सुबह √0 से √4 वाली ट्रिक से तालिका याद से लिखें।
• किसी प्रश्न बैंक से मान वाले दस प्रश्न और सर्वसमिका वाले दस प्रश्न हल करें।
• ऊँचाई वाले हर प्रश्न की आकृति बनाएँ, और अनुपात चुनने से पहले चिह्नित करें कि कौन-सी भुजा ज्ञात है और कौन-सी पूछी गई है।
• ज्यामिति में समकोण त्रिभुज के तथ्य दोहराएँ, फिर यह तालिका अपनी गणित सूत्र शीट में जोड़ें।