इस गाइड में
RRB Group D में क्षेत्रमिति (mensuration) के प्रश्न सीधे होते हैं: सही सूत्र चुनें, संख्याएँ रखें, और बिना चूक के हिसाब करें। कठिनाई विचार में नहीं है। कठिनाई यह याद रखने में है कि कौन-सा सूत्र किस आकृति का है, और इकाइयों या π की वजह से अंक न गँवाने में है।
यह गाइड आपके काम का हर सूत्र तीन तालिकाओं में देती है, फिर सबसे ज़्यादा आने वाले प्रश्न-प्रकार दिखाती है: सीधा क्षेत्रफल और आयतन, तार को नई आकृति में मोड़ना, एक ठोस को पिघलाकर दूसरा बनाना, और क्षेत्रफल में प्रतिशत बदलाव।
समतल आकृतियाँ (2D)
| आकृति | परिमाप | क्षेत्रफल |
|---|---|---|
| वर्ग (भुजा a) | 4a | a² (या विकर्ण² ÷ 2) |
| आयत (लंबाई l, चौड़ाई b) | 2(l + b) | l × b |
| त्रिभुज (आधार b, ऊँचाई h) | तीनों भुजाओं का योग | ½ × b × h |
| समबाहु त्रिभुज (भुजा a) | 3a | (√3/4) × a² |
| समांतर चतुर्भुज (आधार b, ऊँचाई h) | भुजाओं का योग | b × h |
| समचतुर्भुज (विकर्ण d₁, d₂) | 4 × भुजा | ½ × d₁ × d₂ |
| समलंब (समांतर भुजाएँ a, b; ऊँचाई h) | भुजाओं का योग | ½ × (a + b) × h |
| वृत्त (त्रिज्या r) | 2πr | πr² |
| अर्धवृत्त (त्रिज्या r) | πr + 2r | ½πr² |
यह भी काम का है: आयत का विकर्ण √(l² + b²) होता है, और वर्ग का विकर्ण a√2।
ठोस आकृतियाँ (3D)
| ठोस | वक्र या पार्श्व पृष्ठ | संपूर्ण पृष्ठ | आयतन |
|---|---|---|---|
| घन (भुजा a) | 4a² | 6a² | a³ |
| घनाभ (l, b, h) | 2h(l + b) | 2(lb + bh + hl) | l × b × h |
| बेलन (r, h) | 2πrh | 2πr(r + h) | πr²h |
| शंकु (r, h, तिर्यक ऊँचाई l) | πrl | πr(l + r) | ⅓πr²h |
| गोला (r) | 4πr² | 4πr² | (4/3)πr³ |
| अर्धगोला (r) | 2πr² | 3πr² | (2/3)πr³ |
शंकु के लिए तिर्यक ऊँचाई (slant height) l = √(r² + h²) होती है। घन का सबसे लंबा विकर्ण a√3 होता है; घनाभ का √(l² + b² + h²)।
इकाइयाँ
| रूपांतरण | नियम |
|---|---|
| लंबाई | 1 मी = 100 सेमी; 1 किमी = 1,000 मी |
| क्षेत्रफल | 1 मी² = 10,000 सेमी²; 1 हेक्टेयर = 10,000 मी² |
| आयतन | 1 मी³ = 10,00,000 सेमी³ |
| धारिता | 1 लीटर = 1,000 सेमी³; 1 मी³ = 1,000 लीटर |
समय बचाने वाले दो विचार
नई आकृति में मोड़ना और पुनर्ढलाई (recasting)। जब किसी तार को मोड़कर नई आकृति बनाई जाती है, तो परिमाप वही रहता है। जब किसी ठोस को पिघलाकर दोबारा ढाला जाता है, तो आयतन वही रहता है। "पुराना = नया" लिखें और हल करें।
क्षेत्रफल में प्रतिशत बदलाव। यदि हर लंबाई को k से गुणा किया जाए, तो क्षेत्रफल k² से और आयतन k³ से गुणा हो जाता है। इसलिए यदि हर भुजा 10% बढ़े, तो क्षेत्रफल 10 + 10 + (10 × 10)/100 = 21% बढ़ता है। यह वही क्रमागत बदलाव का नियम है जो आप प्रतिशत में लगाते हैं।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1: एक आयत 15 मी × 10 मी का है। इसका क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात करें।
- क्षेत्रफल = 15 × 10 = 150 मी²।
- परिमाप = 2 × (15 + 10) = 50 मी।
उदाहरण 2: एक वृत्त का व्यास 28 सेमी है। इसका क्षेत्रफल और परिधि ज्ञात करें।
- त्रिज्या = 14 सेमी।
- क्षेत्रफल = 22/7 × 14 × 14 = 22 × 2 × 14 = 616 सेमी²।
- परिधि = 2 × 22/7 × 14 = 88 सेमी।
उदाहरण 3: एक घनाभ 8 सेमी × 5 सेमी × 3 सेमी का है। इसका आयतन और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।
- आयतन = 8 × 5 × 3 = 120 सेमी³।
- पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (8 × 5 + 5 × 3 + 3 × 8) = 2 × (40 + 15 + 24) = 2 × 79 = 158 सेमी²।
उदाहरण 4: 22 सेमी भुजा वाले वर्ग के आकार के एक तार को मोड़कर वृत्त बनाया जाता है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें।
- तार की लंबाई = 4 × 22 = 88 सेमी। यही परिधि बन जाती है।
- 2 × 22/7 × r = 88, इसलिए r = 88 × 7 ÷ 44 = 14 सेमी।
- वृत्त का क्षेत्रफल 616 सेमी² है, जो वर्ग के 484 सेमी² से ज़्यादा है। तय परिमाप में वृत्त हमेशा सबसे ज़्यादा क्षेत्रफल घेरता है।
उदाहरण 5: 3 सेमी त्रिज्या वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर 2 सेमी त्रिज्या वाला बेलन ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात करें।
- गोले का आयतन = (4/3) × π × 27 = 36π सेमी³।
- बेलन का आयतन = π × 2² × h = 4πh।
- 4πh = 36π, इसलिए h = 9 सेमी। π कट जाता है, इसलिए 22/7 लेने की ज़रूरत नहीं।
उदाहरण 6: एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है। इसका आयतन लीटर में ज्ञात करें।
- आयतन = 22/7 × 7 × 7 × 12 = 22 × 7 × 12 = 1,848 सेमी³।
- 1,000 सेमी³ = 1 लीटर, इसलिए आयतन 1.848 लीटर है।
आम गलतियाँ
- व्यास को ही त्रिज्या मान लेना। पहले उसे आधा करें।
- प्रश्न में "वक्र" लिखा हो तब संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल लगाना (या उल्टा)। पाइप या तंबू में ऊपर और नीचे का हिस्सा नहीं होता, इसलिए केवल वक्र पृष्ठ गिना जाता है।
- शंकु के आयतन में ⅓ भूल जाना।
- एक ही सूत्र में मीटर और सेंटीमीटर मिला देना।
- शंकु की ऊँचाई को उसकी तिर्यक ऊँचाई मान लेना।
अभ्यास सेट
- एक वर्ग का परिमाप 48 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें।
- 21 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
- 6 सेमी भुजा वाले घन का आयतन और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।
- 14 सेमी त्रिज्या और 10 सेमी ऊँचाई वाले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।
- 12 सेमी आधार और 9 सेमी ऊँचाई वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
- एक समचतुर्भुज के विकर्ण 16 सेमी और 12 सेमी हैं। इसका क्षेत्रफल और भुजा ज्ञात करें।
- एक शंकु की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है। इसकी तिर्यक ऊँचाई और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।
- पानी की एक टंकी 2 मी लंबी, 1.5 मी चौड़ी और 1 मी गहरी है। इसमें कितने लीटर पानी आता है?
उत्तर:
- 144 सेमी²। भुजा = 48 ÷ 4 = 12 सेमी।
- 1,386 सेमी²। 22/7 × 21 × 21 = 22 × 3 × 21।
- 216 सेमी³ और 216 सेमी²। 6³ = 216; 6 × 6² = 216।
- 880 सेमी²। 2 × 22/7 × 14 × 10 = 2 × 22 × 2 × 10।
- 54 सेमी²। ½ × 12 × 9।
- 96 सेमी² और 10 सेमी। क्षेत्रफल = ½ × 16 × 12। विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, इसलिए भुजा = √(8² + 6²) = 10।
- 25 सेमी और 550 सेमी²। √(49 + 576) = √625 = 25; 22/7 × 7 × 25 = 550।
- 3,000 लीटर। 2 × 1.5 × 1 = 3 मी³, और 1 मी³ = 1,000 लीटर।
आगे क्या करें
- तीनों तालिकाएँ याद से लिखें। उन्हें जाँचें, और तब तक दोहराएँ जब तक वे बिल्कुल सही न हो जाएँ।
- वृत्त, बेलन और शंकु पर पाँच-पाँच प्रश्न हल करें, और पुनर्ढलाई पर पाँच।
- जिस भी प्रश्न में इकाई बदलनी पड़ी, उस पर निशान लगाएँ, और दो दिन बाद उन्हें फिर से हल करें।
- ज्यामिति दोहराएँ, ताकि शंकु और समचतुर्भुज के प्रश्नों में छिपे पाइथागोरस त्रिक पकड़ में आएँ।
तारीख़ों और आँकड़ों पर एक बात। परीक्षा का पैटर्न, रिक्तियाँ और कार्यक्रम हर साल बदल सकते हैं। ताज़ा जानकारी हमेशा Railway Recruitment Boards की वेबसाइट पर जारी नवीनतम अधिसूचना में देखें।
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