RRB NTPC के लिए संख्या श्रेणी: जाँच का क्रम, पैटर्न और अभ्यास

संख्या श्रेणी (number series) के प्रश्नों में संख्याओं की एक कड़ी दी जाती है और अगली संख्या, बीच में छूटी संख्या, या वह संख्या पूछी जाती है जो फिट नहीं होती। इनकी विविधता अनंत लगती है, पर NTPC की लगभग हर श्रेणी कुछ ही नियमों से बनी होती है। अगर आप हर बार इन नियमों को एक ही क्रम में जाँचें, तो ज़्यादातर श्रेणियाँ 20–30 सेकंड में खुल जाती हैं।

अभ्यर्थियों को गणित धीमा नहीं करता। धीमा करता है बेतरतीब नियम आज़माना, या ऐसा नियम मान लेना जो पहले तीन पदों पर फिट हो और चौथे पर टूट जाए।

जाँच का क्रम

1. अंतर। हर पद को अगले पद में से घटाएँ। क्या अंतर स्थिर हैं, या वे खुद एक पैटर्न बनाते हैं (2, 4, 6, 8 या 1, 4, 9, 16)?
2. अनुपात। क्या हर पद पिछले पद का गुणज है (× 2, × 3), या गुणक बदलता है (× 1, × 2, × 3)?
3. वर्ग और घन। क्या पद 1, 4, 9, 16… या 1, 8, 27, 64… पर या उनके आसपास हैं?
4. अभाज्य संख्याएँ। 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…
5. मिले-जुले नियम। × 2 + 1, × 3 − 1, n² + n, n³ − 1।
6. एकांतर श्रेणी (alternating series)। दो श्रेणियाँ आपस में गुँथी हुई: एक विषम स्थानों पर, एक सम स्थानों पर।

पहले क्या आज़माएँ, यह कैसे तय करें: अगर संख्याएँ धीरे-धीरे बढ़ें, तो अंतर से शुरू करें। अगर वे तेज़ी से बढ़ें (लगभग दोगुनी या उससे ज़्यादा), तो अनुपात या मिले-जुले नियम आज़माएँ। अगर श्रेणी ऊपर-नीचे होती है, तो वह लगभग निश्चित रूप से एकांतर है।

एक नज़र में पैटर्न

याद रखने लायक वर्ग और घन

हल किए गए प्रश्न

प्रश्न 1. 2, 6, 12, 20, 30, ?

अंतर: 4, 6, 8, 10। अगला अंतर 12 है, इसलिए उत्तर 42 है। दोहरी जाँच: पद 1 × 2, 2 × 3, 3 × 4, 4 × 5, 5 × 6 हैं, इसलिए अगला 6 × 7 = 42 है।

प्रश्न 2. 5, 11, 23, 47, ?

पद लगभग दोगुने होते हैं, इसलिए मिला-जुला नियम आज़माएँ। 5 × 2 + 1 = 11, 11 × 2 + 1 = 23, 23 × 2 + 1 = 47। उत्तर: 47 × 2 + 1 = 95।

प्रश्न 3. 3, 4, 8, 17, 33, ?

अंतर: 1, 4, 9, 16। ये वर्ग हैं, इसलिए अगला अंतर 25 है। उत्तर: 33 + 25 = 58।

प्रश्न 4. 1, 2, 6, 24, 120, ?

अनुपात: × 2, × 3, × 4, × 5। अगला गुणक × 6 है। उत्तर: 720।

प्रश्न 5. 1, 10, 3, 20, 5, 30, ?

श्रेणी ऊपर-नीचे होती है, इसलिए इसे बाँटें। विषम स्थान: 1, 3, 5। सम स्थान: 10, 20, 30। छूटा हुआ पद 7वाँ है, यानी विषम स्थान, इसलिए यह 1, 3, 5 को आगे बढ़ाता है: उत्तर 7।

प्रश्न 6. 0, 7, 26, 63, 124, ?

हर पद किसी घन से एक कम है: 1 − 1, 8 − 1, 27 − 1, 64 − 1, 125 − 1। उत्तर: 216 − 1 = 215।

प्रश्न 7. गलत पद। 4, 9, 16, 25, 35, 49

ये लगातार वर्ग होने चाहिए: 2², 3², 4², 5², 6², 7²। 6² = 36 होता है, 35 नहीं। गलत पद 35 है।

गलत पद ढूँढ़ना, कदम-दर-कदम

1. अंतर देखें और पता करें कि पैटर्न कहाँ टूटता है।
2. एक गलत पद आमतौर पर दो अंतरों को बिगाड़ता है: उससे पहले वाला और उसके बाद वाला।
3. उस पद का सही मान अनुमान से रखें, और जाँचें कि अब दोनों अंतर फिट होते हैं।
4. जो पद आपने बदला, वही उत्तर है।

उदाहरण के लिए, 2, 5, 10, 17, 27, 37 में अंतर 3, 5, 7, 10, 10 हैं। पैटर्न 3, 5, 7, 9, 11 होना चाहिए। 27 को 26 करने पर अंतर 9 और 11 मिलते हैं। इसलिए 27 गलत है।

आम गलतियाँ

• केवल पहले तीन पद जाँचना। नियम हर पद पर फिट होना चाहिए, दिए गए अंतिम पद पर भी।
• एकांतर श्रेणी को न पहचानना। अगर संख्याएँ ऊपर-नीचे कूद रही हों, तो कुछ और करने से पहले उन्हें बाँटें।
• गलत पद वाले प्रश्नों में सही पद को बदल देना। पहले नियम तय करें, फिर वह पद खोजें जो उसे तोड़ता है।
• पहले अंतर पर रुक जाना। अगर अंतर स्थिर नहीं हैं, तो अंतरों के अंतर निकालें।
• मिले-जुले नियमों में गणना की चूक। दोनों कदम मन में करने के बजाय हर कदम (× 2, फिर + 1) लिखें।

अभ्यास सेट

1. 7, 14, 28, 56, ?
2. 3, 5, 9, 15, 23, ?
3. 4, 9, 19, 39, ?
4. 6, 11, 21, 36, 56, ?
5. 2, 12, 36, 80, 150, ?
6. 5, 8, 10, 16, 15, 24, 20, ?
7. 720, 360, 120, 30, 6, ?
8. गलत पद ज्ञात करें: 2, 5, 10, 17, 27, 37

उत्तर:

1. 112। हर पद × 2।
2. 33। अंतर 2, 4, 6, 8, इसलिए अगला + 10।
3. 79। हर पद × 2 + 1।
4. 81। अंतर 5, 10, 15, 20, इसलिए अगला + 25।
5. 252। पद n³ + n² हैं: 1 + 1, 8 + 4, 27 + 9, 64 + 16, 125 + 25, फिर 216 + 36।
6. 32। विषम स्थान 5, 10, 15, 20; सम स्थान 8, 16, 24, 32। छूटा हुआ पद सम स्थान पर है।
7. 1। क्रम से 2, 3, 4, 5 और फिर 6 से भाग।
8. 27। श्रेणी n² + 1 है: 2, 5, 10, 17, 26, 37।

आगे क्या करें

• 20 तक के वर्गों और 10 तक के घनों की तालिका इतनी पक्की करें कि देखते ही पहचान लें।
• 20 श्रेणियों में, कुछ और आज़माने से पहले पदों के नीचे अंतर लिखें।
• इसके बाद अक्षर श्रेणी पर जाएँ, जो असल में संख्या श्रेणी का ही दूसरा रूप है।
• अभाज्य और घन जैसे संख्या के गुणों के लिए विषम को चुनें को दोबारा देखें।