इस गाइड में
वर्ग (squares) और वर्गमूल (square roots) पर पूरे अध्याय जितने प्रश्न कम ही आते हैं, पर ये कई दूसरे प्रश्नों के भीतर छिपे रहते हैं। √1,764 वाला सरलीकरण (simplification) का प्रश्न, 616 वर्ग सेमी क्षेत्रफल वाला वृत्त, 5 और 12 भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज: अगर वर्ग याद हों तो हर एक जल्दी हो जाता है, न हों तो धीमा।
अच्छी बात यह है कि इसमें ज़्यादातर याददाश्त है, और साथ में दो-तीन ट्रिक। कुछ दिनों का अभ्यास पूरे गणित खंड में आपका समय बचा सकता है।
याद करने वाले वर्ग (1–30)
| n | n² | n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 121 | 21 | 441 |
| 2 | 4 | 12 | 144 | 22 | 484 |
| 3 | 9 | 13 | 169 | 23 | 529 |
| 4 | 16 | 14 | 196 | 24 | 576 |
| 5 | 25 | 15 | 225 | 25 | 625 |
| 6 | 36 | 16 | 256 | 26 | 676 |
| 7 | 49 | 17 | 289 | 27 | 729 |
| 8 | 64 | 18 | 324 | 28 | 784 |
| 9 | 81 | 19 | 361 | 29 | 841 |
| 10 | 100 | 20 | 400 | 30 | 900 |
याद करने वाले घन (1–15)
| n | n³ | n | n³ | n | n³ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 6 | 216 | 11 | 1,331 |
| 2 | 8 | 7 | 343 | 12 | 1,728 |
| 3 | 27 | 8 | 512 | 13 | 2,197 |
| 4 | 64 | 9 | 729 | 14 | 2,744 |
| 5 | 125 | 10 | 1,000 | 15 | 3,375 |
किसी संख्या का वर्ग जल्दी निकालने के तरीके
5 पर खत्म होने वाली संख्याएँ। पहले अंक को उसकी अगली संख्या से गुणा करें, फिर अंत में 25 लिख दें। 65² के लिए: 6 × 7 = 42, इसलिए 4,225।
50 के पास की संख्याएँ। (50 ± d)² = 2,500 ± 100d + d² का प्रयोग करें। 48² के लिए: 2,500 − 200 + 4 = 2,304।
100 के पास की संख्याएँ। संख्या में से अंतर घटाएँ, फिर अंतर का वर्ग दो अंकों में लिख दें। 97² के लिए: अंतर 3, 97 − 3 = 94, 3² = 09, इसलिए 9,409।
क्या यह पूर्ण वर्ग है?
- पूर्ण वर्ग (perfect square) कभी 2, 3, 7 या 8 पर खत्म नहीं होता।
- अगर संख्या के अंत में शून्य हों, तो शून्यों की संख्या सम होती है (100, 3,600, 4,90,000)।
- पूर्ण वर्ग का अंकीय मूल (digital root), यानी अंकों का बार-बार योग, 1, 4, 7 या 9 होता है।
इन नियमों से आप गलत विकल्प कुछ ही सेकंड में हटा सकते हैं।
वर्गमूल निकालना
तरीका 1: आख़िरी अंक और दायरा
| वर्ग का आख़िरी अंक | मूल का आख़िरी अंक |
|---|---|
| 1 | 1 या 9 |
| 4 | 2 या 8 |
| 5 | 5 |
| 6 | 4 या 6 |
| 9 | 3 या 7 |
| 0 (सम संख्या में शून्य) | 0 |
पता करें कि मूल किन दो दहाइयों के बीच है, आख़िरी अंक से दो विकल्प निकालें, फिर बीच वाली 5 पर खत्म होने वाली संख्या के वर्ग से तय करें।
तरीका 2: अभाज्य गुणनखंड
संख्या को अभाज्य गुणनखंडों (prime factors) में तोड़ें, उनके जोड़े बनाएँ और हर जोड़े से एक लें। यही तरीका तब भी काम आता है, जब किसी संख्या को पूर्ण वर्ग बनाना हो।
पूर्ण घनों के घनमूल
घन के लिए हर आख़िरी अंक से ठीक एक उत्तर मिलता है: 0→0, 1→1, 2→8, 3→7, 4→4, 5→5, 6→6, 7→3, 8→2, 9→9। फिर आख़िरी तीन अंक हटा दें और देखें कि बची हुई संख्या किस घन से ऊपर है। इस तरह घनमूल (cube root) मिलता है।
दशमलव और भिन्न
- दशमलव के स्थान गिनें: वर्ग में दोगुने स्थान होते हैं। √0.0049 = 0.07, क्योंकि 0.07 में दो स्थान हैं और 0.0049 में चार।
- √1.44 = 1.2, √0.25 = 0.5, √0.09 = 0.3।
- भिन्न के लिए ऊपर और नीचे, दोनों का मूल लें: √(169/225) = 13/15।
हल किए हुए उदाहरण
उदाहरण 1. 85² ज्ञात कीजिए।
- 8 × 9 = 72।
- अंत में 25 लिखें: 7,225।
उदाहरण 2. √2,209 ज्ञात कीजिए।
- 40² = 1,600 और 50² = 2,500, इसलिए मूल 40 और 50 के बीच है।
- संख्या 9 पर खत्म होती है, इसलिए मूल 3 या 7 पर खत्म होगा: 43 या 47।
- 45² = 2,025, जो 2,209 से कम है, इसलिए मूल 45 से बड़ा है।
- उत्तर: 47। जाँच: 47² = 2,209।
उदाहरण 3. गुणनखंड से √784 ज्ञात कीजिए।
- 784 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 7।
- जोड़े: (2 × 2), (2 × 2), (7 × 7)। हर जोड़े से एक: 2 × 2 × 7।
- उत्तर: 28।
उदाहरण 4. 13,824 का घनमूल ज्ञात कीजिए।
- आख़िरी अंक 4 है, इसलिए मूल 4 पर खत्म होगा।
- आख़िरी तीन अंक हटाएँ: 13 बचता है। क्योंकि 2³ = 8 और 3³ = 27, इसलिए दहाई का अंक 2 है।
- उत्तर: 24। जाँच: 24³ = 13,824।
उदाहरण 5. इनमें से कौन-सी संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है: 1,444, 2,025, 3,128, 4,096?
- 3,128 का आख़िरी अंक 8 है, और कोई पूर्ण वर्ग 8 पर खत्म नहीं होता।
- उत्तर: 3,128। (बाकी संख्याएँ 38², 45² और 64² हैं।)
उदाहरण 6. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 72 को गुणा करने पर पूर्ण वर्ग मिले।
- 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3।
- दोनों 3 का जोड़ा बन जाता है, और दो 2 का जोड़ा बन जाता है। एक 2 अकेला बचता है।
- 2 से गुणा करें। आपको 144 = 12² मिलता है।
अभ्यास सेट
- 95² ज्ञात कीजिए।
- 52² ज्ञात कीजिए।
- √1,764 ज्ञात कीजिए।
- √5,329 ज्ञात कीजिए।
- √0.0144 ज्ञात कीजिए।
- 2,744 का घनमूल ज्ञात कीजिए।
- √(256/361) ज्ञात कीजिए।
- वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 180 को गुणा करने पर पूर्ण वर्ग मिले।
उत्तर:
- 9 × 10 = 90, फिर 25: 9,025।
- 2,500 + 200 + 4 = 2,704।
- 40 और 50 के बीच, 2 या 8 पर खत्म; 45² = 2,025 बड़ा है, इसलिए 42।
- 70 और 80 के बीच, 3 या 7 पर खत्म; 75² = 5,625 बड़ा है, इसलिए 73।
- √144 = 12, दशमलव के दो स्थानों के साथ: 0.12।
- आख़िरी अंक 4 है। 744 हटाने पर 2 बचता है, जो 1³ और 2³ के बीच है, इसलिए दहाई का अंक 1 है: 14।
- 16/19।
- 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5। 5 अकेला है, इसलिए 5 से गुणा करें और 900 = 30² पाएँ।
आगे क्या करें
- दस दिन तक हर सुबह 30 तक के वर्ग और 15 तक के घन बोलकर दोहराएँ।
- केवल आख़िरी अंक वाले तरीके से वर्गमूल के दस प्रश्न हल करें।
- इन संख्याओं का प्रयोग सरलीकरण और क्षेत्रमिति (mensuration) के अभ्यास में करें।
- 50 के पास और 100 के पास वाली ट्रिक अपनी चुनी हुई दस संख्याओं पर आज़माएँ।
तारीख़ों और आँकड़ों पर एक बात। परीक्षा का पैटर्न, रिक्तियाँ और कार्यक्रम हर साल बदल सकते हैं। ताज़ा जानकारी हमेशा Staff Selection Commission की वेबसाइट पर जारी नवीनतम अधिसूचना में देखें।
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