RRB NTPC के लिए आयु पर आधारित प्रश्न: विधियाँ, पैटर्न और अभ्यास

आयु पर आधारित प्रश्न (problems on ages) एक छोटी कहानी को समीकरण में बदलते हैं। इनके भीतर का गणित लगभग हमेशा एक कदम वाला रैखिक समीकरण होता है। अभ्यर्थी अनुवाद में अटकते हैं: एक व्यक्ति की आयु में वर्ष जोड़ना पर दूसरे की में नहीं, या जब प्रश्न आयु माँग रहा हो तब x को उत्तर बना देना।

इसलिए यह मार्गदर्शिका ज़्यादातर समय प्रश्न को सही ढंग से बनाने पर लगाती है। समीकरण सही हो, तो उत्तर दो पंक्ति दूर होता है। अगर अनुपात में आप कमज़ोर हैं, तो पहले अनुपात और समानुपात दोहराएँ; आयु के आधे प्रश्न अनुपात के ही प्रश्न होते हैं।

तीन तथ्य जो ज़्यादातर काम कर देते हैं

1. समय सबके लिए बराबर बीतता है। n वर्ष बाद हर व्यक्ति n वर्ष बड़ा होगा; n वर्ष पहले हर व्यक्ति n वर्ष छोटा था।
2. दो आयुओं का अंतर कभी नहीं बदलता। अगर कोई व्यक्ति आज 8 वर्ष बड़ा है, तो वह 10 वर्ष पहले भी 8 वर्ष बड़ा था और 30 वर्ष बाद भी 8 वर्ष बड़ा रहेगा।
3. आयुओं का योग व्यक्तियों की संख्या के हिसाब से बदलता है। k व्यक्तियों के समूह में n वर्ष बाद आयुओं का योग k × n बढ़ जाता है।

तथ्य 2 इतना उपयोगी क्यों है: समय के साथ अनुपात बदलते हैं, पर अंतर नहीं। अगर अनुपात वाले प्रश्न में अंतर भी दिया हो, तो बिना कोई समीकरण बनाए सीधे गुणक निकाला जा सकता है।

प्रश्न बनाना: एक चर, दो नहीं

चर (variable) उस व्यक्ति की वर्तमान आयु के लिए चुनें जिसका प्रश्न में सबसे अधिक ज़िक्र है, और बाकी सबको उसी के रूप में लिखें।

अनुपात गुणक

जब आयुओं का अनुपात a : b हो, तो उन्हें ax और bx लिखें। फिर:

• अगर भविष्य या अतीत का अनुपात दिया है, तो (ax ± n) : (bx ± n) बनाएँ और तिरछा गुणा (cross-multiply) करें।
• अगर अंतर दिया है, तो x = अंतर ÷ (b − a)। यह सबसे तेज़ स्थिति है।
• अगर योग दिया है, तो x = योग ÷ (a + b)।

उत्तर चिह्नित करने से पहले उसे हमेशा दूसरी शर्त पर जाँचें। इसमें पाँच सेकंड लगते हैं और ज़्यादातर चूकें पकड़ में आ जाती हैं।

विकल्प जाँचना

आयु के प्रश्न विकल्प जाँचने के लिए आदर्श हैं, क्योंकि आयु पूर्ण संख्याएँ होती हैं और शर्तें जाँचना आसान होता है।

1. एक विकल्प लें और पहली शर्त जाँचें।
2. अगर वह सही बैठे, तो दूसरी जाँचें।
3. जो विकल्प दोनों पर सही बैठे, वही उत्तर है।

चार विकल्पों के साथ आप अक्सर हल करने से पहले ही उत्तर पा लेंगे, खासकर जब प्रश्न में अतीत और भविष्य की दो शर्तें हों।

NTPC स्तर के हल किए गए प्रश्न

प्रश्न 1. A और B की आयु का अनुपात 4 : 5 है। 6 वर्ष बाद यह अनुपात 5 : 6 होगा। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

वर्तमान आयु: 4x और 5x। इसलिए (4x + 6) : (5x + 6) = 5 : 6।
6(4x + 6) = 5(5x + 6), इसलिए 24x + 36 = 25x + 30, और x = 6।
आयु: 24 और 30। जाँच: 30 : 36 = 5 : 6।

प्रश्न 2. एक अभिभावक की आयु उनकी संतान की आयु की तीन गुनी है। 12 वर्ष बाद अभिभावक की आयु संतान की आयु की दोगुनी होगी। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

संतान = c, अभिभावक = 3c। तब 3c + 12 = 2(c + 12), इसलिए c = 12।
संतान 12, अभिभावक 36। जाँच: 12 वर्ष बाद 48 और 24।

प्रश्न 3. A और B की आयु का योग 50 है। पाँच वर्ष पहले उनकी आयु का अनुपात 3 : 5 था। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

पाँच वर्ष पहले दोनों 5 वर्ष छोटे थे, इसलिए योग 50 − 10 = 40 था।
3k + 5k = 40, इसलिए k = 5। तब की आयु: 15 और 25।
वर्तमान आयु: 20 और 30।

प्रश्न 4. A और B की वर्तमान आयु का अनुपात 3 : 4 है। दस वर्ष पहले A की आयु B की आयु की आधी थी। उनकी वर्तमान आयु का योग ज्ञात कीजिए।

वर्तमान: 3x और 4x। दस वर्ष पहले: 3x − 10 = ½(4x − 10)।
6x − 20 = 4x − 10, इसलिए x = 5। आयु 15 और 20; योग = 35।
जाँच: दस वर्ष पहले वे 5 और 10 वर्ष के थे।

प्रश्न 5. A, B से 2 वर्ष बड़ा है, और B की आयु C की दोगुनी है। तीनों की आयु का योग 27 है। B की आयु कितनी है?

C = x, B = 2x, A = 2x + 2। इसलिए 5x + 2 = 27, और x = 5।
B = 10 (A = 12, C = 5)।

प्रश्न 6. छह वर्ष पहले A की आयु B की चार गुनी थी। अब से चार वर्ष बाद A की आयु B की दोगुनी होगी। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

A − 6 = 4(B − 6), इसलिए A = 4B − 18।
A + 4 = 2(B + 4)। मान रखने पर: 4B − 14 = 2B + 8, इसलिए B = 11 और A = 26।
आयु: 26 और 11। जाँच: छह वर्ष पहले 20 और 5; चार वर्ष बाद 30 और 15।

आम गलतियाँ

• केवल एक व्यक्ति की आयु में वर्ष जोड़ना। प्रश्न में सबके लिए समय बीतता है।
• योग को k × n के बजाय n से बदलना। दो व्यक्ति, पाँच वर्ष पहले, का अर्थ है योग में से 10 घटाना।
• x को उत्तर बना देना। प्रश्न 1 में x = 6 है, पर आयु 24 और 30 हैं। विकल्पों में अक्सर x जाल के रूप में होता है।
• "n वर्ष बाद" को "n वर्ष पहले" पढ़ लेना। अंग्रेज़ी प्रश्नों में "years hence" का अर्थ है अब से आगे, भविष्य में।
• जहाँ एक चर काफ़ी हो, वहाँ दो चर लेना। इससे गणना और गलती की संभावना, दोनों दोगुनी हो जाती हैं।

अभ्यास सेट

1. दो व्यक्तियों की आयु का अनुपात 3 : 4 है और उनका योग 56 है। उनकी आयु ज्ञात कीजिए।
2. A, B से 5 वर्ष बड़ा है। उनकी आयु का योग 45 है। उनकी आयु ज्ञात कीजिए।
3. एक अभिभावक की आयु उनकी संतान की चार गुनी है। 5 वर्ष बाद अभिभावक की आयु तीन गुनी होगी। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
4. दो आयुओं का अनुपात 5 : 7 है। 4 वर्ष बाद यह अनुपात 3 : 4 होगा। वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
5. तीन भाई-बहनों की औसत आयु 12 वर्ष है। सबसे छोटे की आयु 8 और सबसे बड़े की 16 वर्ष है। बीच वाले की आयु कितनी है?
6. दो आयुओं का अनुपात 5 : 3 है और उनमें 12 वर्ष का अंतर है। 6 वर्ष बाद अनुपात क्या होगा?
7. परिवार के चार सदस्यों की वर्तमान आयु का योग 100 है। पाँच वर्ष पहले योग क्या था?
8. 30 विद्यार्थियों की औसत आयु 14 वर्ष है। शिक्षक की आयु जोड़ने पर औसत 1 बढ़ जाता है। शिक्षक की आयु ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. 24 और 32। x = 56 ÷ 7 = 8।
2. 25 और 20। B + (B + 5) = 45।
3. संतान 10, अभिभावक 40। 4c + 5 = 3(c + 5); 5 वर्ष बाद 15 और 45।
4. 20 और 28। 4(5x + 4) = 3(7x + 4) से x = 4; 4 वर्ष बाद 24 और 32।
5. 12। कुल 36; 36 − 8 − 16।
6. 3 : 2। x = 12 ÷ 2 = 6, इसलिए आयु 30 और 18; 6 वर्ष बाद 36 : 24।
7. 80। चार व्यक्ति, हर एक 5 वर्ष छोटा: 100 − 20।
8. 45। 31 × 15 − 30 × 14 = 465 − 420।

आगे क्या करें

• आयु के अपने अगले 15 प्रश्नों में, कोई भी समीकरण बनाने से पहले "अब" और "तब" की आयु दो पंक्तियों में लिखें।
• पाँच प्रश्न दो बार हल करें: एक बार समीकरण से, एक बार विकल्प जाँचकर। नोट करें कि कौन-सा तेज़ था।
• औसत दोहराएँ, क्योंकि परिवार और कक्षा की औसत आयु वाले प्रश्न दोनों अध्यायों के बीच आते हैं।