RRB NTPC के लिए मिश्रण और एलिगेशन: विधियाँ, पैटर्न और अभ्यास

मिश्रण के प्रश्न पूछते हैं कि दो चीज़ें मिलाने पर क्या होता है: चावल की दो किस्में, दूध और पानी, अम्ल के दो घोल। ये अलग अध्याय जैसे लगते हैं, पर वास्तव में ये भारित औसत ही हैं, जिनके लिए एलिगेशन (alligation) नाम का एक तेज़ शॉर्टकट है।

शॉर्टकट सीखें, उसके काम करने का कारण सीखें, और दो विशेष स्थितियाँ सीखें (एक घटक जोड़ना, और बार-बार प्रतिस्थापन)। इससे NTPC के लगभग हर मिश्रण (mixture) वाले प्रश्न की तैयारी हो जाती है।

एक ही प्रश्न की दो दिशाएँ

एलिगेशन का नियम

c मूल्य वाली सस्ती वस्तु और d मूल्य वाली महँगी वस्तु को मिलाकर माध्य मूल्य (mean price) m प्राप्त किया जाता है (c < m < d)। तब:

सस्ती : महँगी = (d − m) : (m − c)

इसे क्रॉस के रूप में लिखें:

यह क्यों काम करता है: माध्य मूल्य को एक संतुलन बिंदु मानें। सस्ती वस्तु का हर kg माध्य से (m − c) कम मूल्य का है; महँगी वस्तु का हर kg (d − m) अधिक मूल्य का। मिश्रण ठीक m पर आए, इसके लिए कुल कमी कुल अधिकता के बराबर होनी चाहिए: q₁(m − c) = q₂(d − m)। पुनर्व्यवस्थित करने पर q₁ : q₂ = (d − m) : (m − c) मिलता है। हर मात्रा के साथ दूसरी वस्तु की माध्य से दूरी जुड़ती है।

यही नियम हर उस चीज़ पर लागू होता है जिसका औसत निकलता है: दूध या अम्ल का प्रतिशत, लाभ प्रतिशत, यहाँ तक कि बराबर समयों की औसत चाल भी। पानी को ₹0 "मूल्य" या 0% दूध माना जाता है।

एक घटक जोड़ना

जब अनुपात बदलने के लिए पानी (या दूध) मिलाया जाता है, तो एक घटक स्थिर रहता है। उसी स्थिर मात्रा के साथ काम करें।

• स्थिर घटक की मात्रा निकालें।
• नए अनुपात को इस तरह बढ़ाएँ या घटाएँ कि स्थिर घटक बराबर हो जाए।
• दूसरे घटक में हुआ बदलाव ही मिलाई गई मात्रा है।

बार-बार प्रतिस्थापन

V लीटर दूध वाले बर्तन से x लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है, और यह n बार दोहराया जाता है।

बचा हुआ दूध = V × (1 − x/V)ⁿ

क्यों: हर बार अच्छी तरह मिले हुए द्रव में से x लीटर निकालने पर दूध का वही भिन्न x/V निकलता है। भिन्न (1 − x/V) बचा रहता है। n बार ऐसा करने पर यह भिन्न n बार गुणा होता है। साधारण घटाना (दो बार 10 L दूध निकालना) पहले चक्र के बाद गलत है, क्योंकि दूसरी बार निकाला गया द्रव केवल आंशिक रूप से दूध होता है।

NTPC स्तर के हल किए गए प्रश्न

प्रश्न 1. ₹30 प्रति kg वाले चावल को ₹40 प्रति kg वाले चावल के साथ मिलाकर ₹34 प्रति kg का मिश्रण बनाया जाता है। अनुपात ज्ञात कीजिए।

सस्ता : महँगा = (40 − 34) : (34 − 30) = 6 : 4 = 3 : 2।
जाँच: 30 वाले 3 kg + 40 वाले 2 kg = 5 kg के लिए ₹170 = ₹34 प्रति kg।

प्रश्न 2. ₹50 प्रति kg वाली 20 kg चीनी को ₹60 प्रति kg वाली 30 kg चीनी के साथ मिलाया जाता है। मिश्रण का प्रति kg मूल्य ज्ञात कीजिए।

कुल लागत = 1,000 + 1,800 = 50 kg के लिए ₹2,800।
मूल्य = ₹56 प्रति kg।

प्रश्न 3. 40 लीटर मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 3 : 1 है। अनुपात 3 : 2 करने के लिए कितना पानी मिलाना होगा?

दूध = 30 L (स्थिर); पानी = 10 L।
30 L दूध के साथ 3 : 2 के लिए पानी 20 L होना चाहिए। 10 लीटर मिलाएँ।

प्रश्न 4. एक बर्तन में 50 लीटर दूध है। 10 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है। यह एक बार और किया जाता है। कितना दूध बचा है?

हर बार दूध का 1 − 10/50 = 4/5 भाग बचता है।
बचा हुआ दूध = 50 × 4/5 × 4/5 = 32 लीटर।

प्रश्न 5. 40% अम्ल वाला 30 लीटर घोल पाने के लिए 20% अम्ल वाले और 50% अम्ल वाले घोल कितने-कितने लीटर मिलाने होंगे?

अनुपात = (50 − 40) : (40 − 20) = 10 : 20 = 1 : 2।
इसलिए 20% वाला 10 L और 50% वाला 20 L।
जाँच: 30 L में 2 + 10 = 12 L अम्ल, जो 40% है।

प्रश्न 6. दूध ₹60 प्रति लीटर है। उसमें पानी किस अनुपात में मिलाया जाए कि मिश्रण का मूल्य ₹50 प्रति लीटर हो?

पानी मुफ़्त है, इसलिए c = 0, d = 60, m = 50।
दूध : पानी = (50 − 0) : (60 − 50) = 5 : 1।

आम गलतियाँ

• एलिगेशन का अनुपात उल्टा लिखना। सस्ती वस्तु का हिस्सा (d − m) है, यानी महँगी वस्तु की माध्य से दूरी।
• स्थिर घटक को बदल देना। प्रश्न 3 में दूध 30 L ही रहता है; केवल पानी बदलता है।
• बार-बार प्रतिस्थापन में साधारण घटाना। बचे हुए भिन्न वाला सूत्र लगाएँ।
• दोनों मूल्यों के बाहर का माध्य लेना। ₹30 और ₹40 वाले चावल का मिश्रण कभी ₹45 का नहीं हो सकता। अगर आपकी गणना में ऐसा चाहिए, तो प्रश्न दोबारा पढ़ें।
• लाभ वाले मिश्रण प्रश्नों में क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य में उलझना। पहले क्रय मूल्य में बदलें।

अभ्यास सेट

1. ₹120 प्रति kg वाली चाय को ₹150 प्रति kg वाली चाय के साथ मिलाकर ₹130 प्रति kg की चाय बनाई जाती है। अनुपात ज्ञात कीजिए।
2. 60 लीटर मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 2 : 1 है। इसे 1 : 1 करने के लिए कितना पानी मिलाना होगा?
3. ₹40 प्रति kg वाला 10 kg चावल ₹50 प्रति kg वाले 15 kg चावल के साथ मिलाया जाता है। मिश्रण का प्रति kg मूल्य ज्ञात कीजिए।
4. ₹25 पाने के लिए ₹20 और ₹35 वाली वस्तुओं को किस अनुपात में मिलाना होगा?
5. एक बर्तन में 80 लीटर दूध है। 8 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है, और यह दो बार किया जाता है। कितना दूध बचता है?
6. दो मिश्रणों की बराबर मात्राएँ, जिनमें दूध और पानी का अनुपात 3 : 1 और 5 : 3 है, मिलाई जाती हैं। दूध और पानी का नया अनुपात ज्ञात कीजिए।
7. 40% घोल पाने के लिए 25% और 45% ऐल्कोहॉल वाले घोलों को किस अनुपात में मिलाना होगा?
8. एक दुकानदार ₹48 प्रति लीटर वाले दूध में पानी मिलाता है और मिश्रण ₹48 प्रति लीटर पर बेचकर 20% लाभ कमाता है। दूध और पानी का अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. 2 : 1। (150 − 130) : (130 − 120) = 20 : 10।
2. 20 लीटर। दूध 40 L स्थिर रहता है; पानी को 40 L होना है।
3. ₹46। (400 + 750) ÷ 25 = 1,150 ÷ 25।
4. 2 : 1। (35 − 25) : (25 − 20) = 10 : 5।
5. 64.8 लीटर। 80 × 9/10 × 9/10।
6. 11 : 5। दूध के भिन्न 3/4 = 12/16 और 5/8 = 10/16; औसत 11/16।
7. 1 : 3। (45 − 40) : (40 − 25) = 5 : 15।
8. 5 : 1। मिश्रण का क्रय मूल्य = 48 ÷ 1.2 = ₹40; (40 − 0) : (48 − 40) = 40 : 8।

आगे क्या करें

• 15 प्रश्नों के लिए एलिगेशन का क्रॉस बनाएँ, जब तक आप बिना सोचे d − m को सस्ती वस्तु के नीचे न रखने लगें।
• "पानी मिलाओ" वाले पाँच प्रश्न पहले न बदलने वाले घटक को स्थिर करके हल करें।
• बार-बार प्रतिस्थापन वाले पाँच प्रश्नों का अभ्यास करें, जिनमें एक तीन चक्रों वाला हो।
• "क्रय मूल्य पर बेचा" वाले प्रकार के लिए लाभ और हानि दोहराएँ।