इस गाइड में
संख्या पद्धति (number system) के प्रश्न यह परखते हैं कि आप जानते हैं या नहीं कि संख्याएँ कैसे व्यवहार करती हैं। गणित खंड में ये सबसे छोटे प्रश्नों में से हैं: न लंबा हल, न सूत्रों को उलट-पलटकर लगाना। नियम साफ़ हों, तो ज़्यादातर प्रश्न एक मिनट से काफ़ी कम समय में हो जाते हैं, और लंबे अंकगणित वाले प्रश्नों के लिए समय बच जाता है।
RRB Group D में ये आम तौर पर इन रूपों में आते हैं: विभाज्यता (divisibility) की जाँच, लुप्त अंक वाले प्रश्न, बड़ी घातों के इकाई अंक (unit digit), गुणनखंडों (factors) की गिनती, और शेषफल (remainder) या योग के सरल प्रश्न।
संख्याओं के प्रकार
| प्रकार | अर्थ | उदाहरण |
|---|---|---|
| प्राकृत संख्याएँ (natural numbers) | गिनती की संख्याएँ | 1, 2, 3, … |
| पूर्ण संख्याएँ (whole numbers) | प्राकृत संख्याएँ और 0 | 0, 1, 2, … |
| पूर्णांक (integers) | पूर्ण संख्याएँ और उनके ऋणात्मक | …, −2, −1, 0, 1, 2, … |
| परिमेय संख्याएँ (rational numbers) | जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सके, q ≠ 0 | 3/4, −5, 0.25 |
| अपरिमेय संख्याएँ (irrational numbers) | जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता | √2, π |
| अभाज्य संख्याएँ (prime numbers) | ठीक दो गुणनखंड, 1 और वह संख्या स्वयं | 2, 3, 5, 7, 11, 13 |
| भाज्य संख्याएँ (composite numbers) | दो से ज़्यादा गुणनखंड | 4, 6, 8, 9, 10 |
| सह-अभाज्य (co-primes) | ऐसी दो संख्याएँ जिनका महत्तम समापवर्तक (HCF) 1 हो | 8 और 15 |
100 से छोटी अभाज्य संख्याएँ ये हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97।
कोई संख्या अभाज्य है या नहीं, यह जाँचने के लिए उसे केवल उसके वर्गमूल तक की अभाज्य संख्याओं से भाग दें। अगर कोई भी उसे पूरा नहीं काटती, तो वह अभाज्य है। 91 के लिए: √91 का मान 10 से थोड़ा कम है, इसलिए 2, 3, 5, 7 से जाँचें। क्योंकि 91 = 7 × 13, इसलिए यह अभाज्य नहीं है।
विभाज्यता के नियम
| किससे विभाज्य | नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| 2 | अंतिम अंक सम हो | 3,458 |
| 3 | अंकों का योग 3 से विभाज्य हो | 7,293 (योग 21) |
| 4 | अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो | 5,316 (16) |
| 5 | अंतिम अंक 0 या 5 हो | 8,745 |
| 6 | 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो | 4,122 |
| 8 | अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो | 3,512 (512 = 8 × 64) |
| 9 | अंकों का योग 9 से विभाज्य हो | 5,742 (योग 18) |
| 10 | अंतिम अंक 0 हो | 6,530 |
| 11 | विषम स्थानों के अंकों के योग और सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर 0 हो या 11 से विभाज्य हो | 4,356 |
11 के नियम में स्थान दाईं ओर से गिनें: अंतिम अंक पहला स्थान है।
घातों के इकाई अंक
किसी घात (power) का अंतिम अंक एक छोटे चक्र में दोहराता है।
| आधार का अंतिम अंक | अंतिम अंकों का चक्र | चक्र की लंबाई |
|---|---|---|
| 0, 1, 5, 6 | वही रहता है | 1 |
| 4 | 4, 6 | 2 |
| 9 | 9, 1 | 2 |
| 2 | 2, 4, 8, 6 | 4 |
| 3 | 3, 9, 7, 1 | 4 |
| 7 | 7, 9, 3, 1 | 4 |
| 8 | 8, 4, 2, 6 | 4 |
तरीका: घात को 4 से भाग दें। शेषफल बताता है कि चक्र में कौन-सा स्थान है। शेषफल 0 का अर्थ है चक्र का अंतिम अंक।
गुणनखंडों की गिनती
संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखें: N = aᵐ × bⁿ × … तब गुणनखंडों की संख्या = (m + 1)(n + 1)…
शेषफल
भाज्य (dividend) = भाजक (divisor) × भागफल (quotient) + शेषफल। शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है।
काम के योग
- 1 + 2 + … + n = n(n + 1) ÷ 2। इसलिए 1 + 2 + … + 50 = 50 × 51 ÷ 2 = 1,275।
- पहली n विषम संख्याओं का योग = n²।
- पहली n सम संख्याओं का योग = n(n + 1)।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1: क्या 4,356, 11 से विभाज्य है?
- दाईं ओर से स्थान: 6 (पहला), 5 (दूसरा), 3 (तीसरा), 4 (चौथा)।
- विषम स्थान: 6 + 3 = 9। सम स्थान: 5 + 4 = 9।
- अंतर = 0, इसलिए हाँ। जाँच: 11 × 396 = 4,356।
उदाहरण 2: 2¹⁵ का इकाई अंक ज्ञात करें।
- 15 ÷ 4 का शेषफल 3 है।
- चक्र 2, 4, 8, 6 का तीसरा अंक 8 है। जाँच: 2¹⁵ = 32,768।
उदाहरण 3: 60 के कितने गुणनखंड हैं?
- 60 = 2² × 3¹ × 5¹।
- गुणनखंड = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 × 2 × 2 = 12।
उदाहरण 4: 13 से विभाज्य तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें।
- 100 ÷ 13 = 7, शेषफल 9। इसलिए 100, 13 का गुणज (multiple) नहीं है।
- अगला गुणज 13 × 8 = 104 है।
उदाहरण 5: 57x2, 9 से विभाज्य है। अंक x ज्ञात करें।
- अंकों का योग = 5 + 7 + x + 2 = 14 + x।
- 14 के बाद 9 का अगला गुणज 18 है, इसलिए x = 4। (27 के लिए x = 13 चाहिए, जो एक अंक नहीं है।)
- जाँच: 5,742 ÷ 9 = 638।
उदाहरण 6: एक भाग में भाजक 17, भागफल 9 और शेषफल 5 है। भाज्य ज्ञात करें।
- भाज्य = 17 × 9 + 5 = 153 + 5 = 158।
आम गलतियाँ
- 4 या 8 के लिए अंकों के योग वाला नियम लगाना। इन नियमों में अंकों का योग नहीं, अंतिम दो या तीन अंक देखे जाते हैं।
- यह भूल जाना कि शेषफल 0 का अर्थ इकाई अंक के चक्र का अंतिम अंक है, पहला नहीं।
- 1 को अभाज्य संख्या कहना, या यह भूल जाना कि 2 अभाज्य है।
- बड़ी संख्या के गुणनखंड एक-एक करके लिखकर गिनना। अभाज्य घातों वाला सूत्र लगाएँ।
अभ्यास सेट
- 3¹⁰ का इकाई अंक ज्ञात करें।
- 48 के कितने गुणनखंड हैं?
- क्या 7,293, 3 से विभाज्य है?
- 7 से विभाज्य दो अंकों की सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है?
- पहली 10 सम संख्याओं का योग ज्ञात करें।
- 7⁴³ × 3²² का इकाई अंक ज्ञात करें।
- 1,000 में कम से कम कौन-सी संख्या जोड़ी जाए कि वह 7 से विभाज्य हो जाए?
- पहली 15 विषम संख्याओं का योग ज्ञात करें।
उत्तर:
- 9। 10 ÷ 4 का शेषफल 2 है; 3, 9, 7, 1 का दूसरा अंक 9 है।
- 10। 48 = 2⁴ × 3; (4 + 1)(1 + 1) = 10।
- हाँ। 7 + 2 + 9 + 3 = 21, जो 3 से विभाज्य है।
- 98। 7 × 14 = 98; 7 × 15 = 105 तीन अंकों की संख्या है।
- 110। n(n + 1) = 10 × 11।
- 7। 43 ÷ 4 का शेषफल 3 है, इसलिए 7⁴³ का अंतिम अंक 3 है। 22 ÷ 4 का शेषफल 2 है, इसलिए 3²² का अंतिम अंक 9 है। 3 × 9 = 27, जिसका अंतिम अंक 7 है।
- 1। 1,000 ÷ 7 = 142, शेषफल 6। 7 − 6 = 1, और 1,001 = 7 × 143।
- 225। n² = 15²।
आगे क्या करें
- इकाई अंक के चक्र वाली तालिका तब तक याद से लिखें, जब तक बिना गलती के न लिख सकें।
- 100 से छोटी 25 अभाज्य संख्याएँ याद करें।
- पिछले वर्षों के प्रश्नपत्रों (previous-year papers) से संख्या पद्धति के 15 मिले-जुले प्रश्न टाइमर लगाकर हल करें।
- इसके बाद लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक पढ़ें, जिसमें यही अभाज्य गुणनखंड काम आते हैं, और फिर BODMAS।
तारीख़ों और आँकड़ों पर एक बात। परीक्षा का पैटर्न, रिक्तियाँ और कार्यक्रम हर साल बदल सकते हैं। ताज़ा जानकारी हमेशा Railway Recruitment Boards की वेबसाइट पर जारी नवीनतम अधिसूचना में देखें।
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