SSC GD के लिए मिश्रण और साझेदारी

मिश्रण (mixture) और साझेदारी (partnership) के प्रश्न दो अलग अध्याय लगते हैं। एक में चावल, चाय, दूध और पानी की बात होती है। दूसरे में लोग किसी व्यापार में पैसा लगाते हैं। पर भीतर से दोनों अनुपात के प्रश्न हैं। अगर आप किसी राशि को 3 : 2 के अनुपात में बाँट सकते हैं, तो इनमें से लगभग सभी प्रश्न हल कर सकते हैं।

अगर अनुपात और औसत कमज़ोर लगें, तो पहले उन्हें दोहरा लें। मिश्रण का मूल्य बस एक भारित औसत (weighted average) है।

भाग A: मिश्रण

मिश्रण का मूल्य

जब आप दो चीज़ें मिलाते हैं, तो मिश्रण का प्रति किग्रा मूल्य होता है:

मिश्रण का मूल्य = कुल लागत ÷ कुल मात्रा

यह हमेशा दोनों मूल्यों के बीच होता है, और उस चीज़ के मूल्य के ज़्यादा पास होता है जो आपने अधिक मात्रा में ली है।

एलीगेशन का नियम (तय मूल्य पाने के लिए मिलाना)

किसी दिए गए मिश्रण-मूल्य को पाने के लिए दो चीज़ें किस अनुपात में मिलानी होंगी, यह एलीगेशन के नियम (alligation rule) से निकलता है:

सस्ती : महँगी = (महँगी का मूल्य − मिश्रण का मूल्य) : (मिश्रण का मूल्य − सस्ती का मूल्य)

अपनी रफ़ शीट पर इसे एक छोटे क्रॉस की तरह बनाएँ: ऊपर दोनों मूल्य, बीच में मिश्रण का मूल्य, और नीचे दोनों अंतर। ध्यान दें कि अंतर तिरछा लिया जाता है। सस्ती चीज़ का हिस्सा महँगी चीज़ के मूल्य से निकलता है।

दूध और पानी

3 : 1 जैसे अनुपात का अर्थ है हर 1 भाग पानी पर 3 भाग दूध। एक भाग का मान निकालें, फिर बाकी सब।

जब केवल पानी मिलाया जाए, तो दूध नहीं बदलता। जब केवल दूध मिलाया जाए, तो पानी नहीं बदलता। हमेशा उस मात्रा से शुरू करें जो नहीं बदलती।

जब मिश्रण का कुछ हिस्सा निकाला जाता है, तो दूध और पानी मिश्रण के उसी अनुपात में निकलते हैं।

भाग B: साझेदारी

जब लोग किसी व्यापार में पैसा लगाते हैं, तो लाभ उनके निवेश के अनुपात में बँटता है।

• समय बराबर हो: लगाई गई राशियों के अनुपात में बाँटें।
• समय अलग-अलग हो: निवेश × समय (महीनों में) के अनुपात में बाँटें।

हल किए हुए उदाहरण

उदाहरण 1. ₹40/किग्रा वाला 2 किग्रा चावल, ₹50/किग्रा वाले 3 किग्रा चावल में मिलाया जाता है। मिश्रण का प्रति किग्रा मूल्य ज्ञात कीजिए।

1. कुल लागत = 2 × 40 + 3 × 50 = 80 + 150 = ₹230।
2. कुल वज़न = 5 किग्रा।
3. मूल्य = 230 ÷ 5 = ₹46/किग्रा।

उदाहरण 2. ₹200/किग्रा वाली चाय को ₹300/किग्रा वाली चाय में किस अनुपात में मिलाएँ कि ₹240/किग्रा वाली चाय बने? 25 किग्रा मिश्रण में सस्ती चाय कितनी होगी?

1. सस्ती : महँगी = (300 − 240) : (240 − 200) = 60 : 40 = 3 : 2।
2. 25 किग्रा में: 5 भाग = 25 किग्रा, इसलिए 1 भाग = 5 किग्रा।
3. सस्ती चाय = 3 × 5 = 15 किग्रा।
4. जाँच: (15 × 200 + 10 × 300) ÷ 25 = 6,000 ÷ 25 = 240।

उदाहरण 3. 20 लीटर के मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 3 : 1 है। अनुपात 3 : 2 करने के लिए कितना पानी मिलाना होगा?

1. एक भाग = 20 ÷ 4 = 5 लीटर। दूध = 15 लीटर; पानी = 5 लीटर।
2. दूध 15 ही रहेगा। 3 : 2 के लिए पानी 10 लीटर होना चाहिए।
3. 10 − 5 = 5 लीटर पानी मिलाएँ।

उदाहरण 4. 40 लीटर के मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 3 : 1 है। 8 लीटर मिश्रण निकालकर उसकी जगह 8 लीटर पानी डाला जाता है। नया अनुपात ज्ञात कीजिए।

1. शुरू में: दूध 30, पानी 10।
2. निकाले गए 8 लीटर 3 : 1 के अनुपात में हैं: दूध 6, पानी 2।
3. बचा: दूध 24, पानी 8। 8 लीटर पानी डालें: पानी 16।
4. नया अनुपात = 24 : 16 = 3 : 2।

उदाहरण 5. A ₹10,000 12 महीने के लिए और B ₹15,000 6 महीने के लिए लगाते हैं। लाभ ₹7,000 है। हर एक का हिस्सा ज्ञात कीजिए।

1. A = 10,000 × 12 = 1,20,000। B = 15,000 × 6 = 90,000।
2. अनुपात = 1,20,000 : 90,000 = 4 : 3।
3. A = 4/7 × 7,000 = ₹4,000; B = ₹3,000।

उदाहरण 6. A ₹30,000 से व्यापार शुरू करते हैं। 4 महीने बाद B ₹40,000 लेकर जुड़ते हैं। वर्ष के अंत में लाभ ₹17,000 है। हर एक का हिस्सा ज्ञात कीजिए।

1. A के महीने = 12; B के महीने = 12 − 4 = 8।
2. A = 30,000 × 12 = 3,60,000। B = 40,000 × 8 = 3,20,000।
3. अनुपात = 36 : 32 = 9 : 8।
4. A = 9/17 × 17,000 = ₹9,000; B = ₹8,000।

आम गलतियाँ

अभ्यास सेट

1. ₹40/किग्रा वाली 4 किग्रा चीनी को ₹45/किग्रा वाली 6 किग्रा चीनी में मिलाया जाता है। मिश्रण का प्रति किग्रा मूल्य ज्ञात कीजिए।
2. ₹20/किग्रा वाले गेहूँ को ₹30/किग्रा वाले गेहूँ में किस अनुपात में मिलाएँ कि ₹24/किग्रा वाला मिश्रण बने?
3. 30 लीटर के मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 2 : 1 है। उसमें पानी कितना है?
4. उसी 30 लीटर के मिश्रण में अनुपात 4 : 1 करने के लिए कितना दूध मिलाना होगा?
5. ₹30/किग्रा और ₹45/किग्रा वाले चावल 2 : 1 के अनुपात में मिलाए जाते हैं। मिश्रण का प्रति किग्रा मूल्य ज्ञात कीजिए।
6. A और B एक वर्ष के लिए ₹40,000 और ₹60,000 लगाते हैं। लाभ ₹15,000 है। A का हिस्सा ज्ञात कीजिए।
7. X ₹5,000 8 महीने के लिए और Y ₹8,000 5 महीने के लिए लगाते हैं। उनके लाभ का अनुपात क्या है?
8. A ₹24,000 से शुरू करते हैं। 6 महीने बाद B ₹36,000 लेकर जुड़ते हैं। वर्ष का लाभ ₹14,000 है। हर एक का हिस्सा ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. (160 + 270) ÷ 10 = ₹43/किग्रा।
2. (30 − 24) : (24 − 20) = 6 : 4 = 3 : 2।
3. 1 भाग = 10 लीटर। पानी = 10 लीटर।
4. दूध 20, पानी 10। पानी 10 पर स्थिर रहे और अनुपात 4 : 1 हो, तो दूध 40 होना चाहिए। 20 लीटर दूध मिलाएँ।
5. (2 × 30 + 1 × 45) ÷ 3 = 105 ÷ 3 = ₹35/किग्रा।
6. अनुपात 2 : 3। A = 2/5 × 15,000 = ₹6,000।
7. 40,000 : 40,000 = 1 : 1।
8. A = 24,000 × 12 = 2,88,000; B = 36,000 × 6 = 2,16,000। अनुपात 4 : 3। A ₹8,000, B ₹6,000।

आगे क्या करें

• एलीगेशन के दस प्रश्न हल करें, और हर बार क्रॉस बनाएँ।
• "पानी मिलाओ" वाले पाँच और "निकालो और बदलो" वाले पाँच प्रश्न हल करें।
• साझेदारी के पाँच ऐसे प्रश्न हल करें, जिनमें एक साझेदार देर से जुड़ते हैं या पहले छोड़ देते हैं।
• हर उत्तर को वापस प्रश्न में रखकर जाँचें, जैसे उदाहरण 2 में किया गया है।