इस गाइड में
RRB Group D के गणित पाठ्यक्रम (syllabus) में प्रारंभिक सांख्यिकी (elementary statistics) शामिल है। प्रश्न छोटे होते हैं: माध्य, माध्यिका या बहुलक निकालना, दिए गए माध्य से उल्टा चलकर कोई मान निकालना, या किसी तालिका से कुछ संख्याएँ पढ़ना।
फँसाने वाली चीज़ कठिनाई नहीं है, परिभाषाएँ हैं। जो अभ्यर्थी माध्यिका निकालने से पहले संख्याओं को क्रम में लगाना भूल जाते हैं, या बहुलक में मान के बजाय बारंबारता लिख देते हैं, वे उस प्रश्न पर अंक गँवा देते हैं जो मुफ़्त अंक देने के लिए ही था। यह गाइड इन परिभाषाओं को पक्का करती है और हर प्रकार के प्रश्न के लिए एक विधि देती है।
चार माप
| माप | अर्थ | कैसे निकालें |
|---|---|---|
| माध्य (mean) | औसत | मानों का योग ÷ मानों की संख्या |
| माध्यिका (median) | बीच वाला मान | मानों को क्रम में लगाएँ। संख्या विषम हो तो बीच वाला मान; सम हो तो बीच वाले दो मानों का औसत |
| बहुलक (mode) | सबसे ज़्यादा आने वाला मान | वह मान जो सबसे अधिक बार आता है |
| परिसर (range) | फैलाव | सबसे बड़ा मान − सबसे छोटा मान |
क्रम में लगे n मानों के लिए, n विषम हो तो माध्यिका ((n + 1) ÷ 2)वाँ मान है। n सम हो तो यह (n ÷ 2)वें और (n ÷ 2 + 1)वें मान का औसत है।
बारंबारता तालिका से माध्य
जब मान दोहराए जाते हैं, तो आँकड़े एक तालिका के रूप में दिए जा सकते हैं: मान (x) और हर मान कितनी बार आता है (f, यानी बारंबारता, frequency)।
- माध्य = Σfx ÷ Σf, जहाँ Σ का अर्थ है "सबको जोड़ें"।
- हर मान को उसकी बारंबारता से गुणा करें, इन गुणनफलों को जोड़ें, फिर कुल बारंबारता से भाग दें।
ऐसी तालिका की माध्यिका के लिए संचयी योग (cumulative totals) लिखें और देखें कि बीच वाला स्थान कहाँ पड़ता है।
जब हर मान बदल जाए
| हर मान में बदलाव | माध्य, माध्यिका, बहुलक | परिसर |
|---|---|---|
| k जोड़ें या घटाएँ | k बढ़ते या घटते हैं | कोई बदलाव नहीं |
| k से गुणा करें | k से गुणा हो जाते हैं | k से गुणा हो जाता है |
इनसे कुछ प्रश्नों का उत्तर एक पंक्ति में आ जाता है। यदि किसी समूह का माध्य 20 है और हर मान 5 बढ़ा दिया जाए, तो नया माध्य 25 होगा। मान निकालने की ज़रूरत नहीं।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1: 9, 3, 7, 5, 11 और 1 की माध्यिका ज्ञात करें।
- क्रम में लगाएँ: 1, 3, 5, 7, 9, 11। छह मान हैं, इसलिए तीसरा और चौथा लें: 5 और 7।
- माध्यिका = (5 + 7) ÷ 2 = 6।
उदाहरण 2: 4, 6, 6, 7, 7, 7, 9 और 12 का बहुलक और परिसर ज्ञात करें।
- 7 तीन बार आता है, जो किसी भी दूसरे मान से ज़्यादा है। बहुलक = 7।
- परिसर = 12 − 4 = 8।
उदाहरण 3: 6, 8, x, 12 और 14 का माध्य 10 है। x ज्ञात करें।
- योग = माध्य × संख्या = 10 × 5 = 50।
- 6 + 8 + 12 + 14 = 40, इसलिए x = 50 − 40 = 10।
उदाहरण 4: दस विद्यार्थियों ने ये अंक पाए। माध्य, माध्यिका और बहुलक ज्ञात करें।
| अंक (x) | 10 | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| विद्यार्थी (f) | 2 | 3 | 4 | 1 |
- Σfx = 10 × 2 + 20 × 3 + 30 × 4 + 40 × 1 = 20 + 60 + 120 + 40 = 240। Σf = 10।
- माध्य = 240 ÷ 10 = 24।
- माध्यिका: 10 मान हैं, इसलिए 5वाँ और 6ठा लें। पहले 2 मान 10 हैं, अगले 3 (तीसरे से 5वें तक) 20 हैं, और अगले 4 (6ठे से 9वें तक) 30 हैं। इसलिए माध्यिका (20 + 30) ÷ 2 = 25 है।
- बहुलक = 30, जिस मान की बारंबारता सबसे अधिक है।
उदाहरण 5: 5 संख्याओं का माध्य 18 है। एक संख्या, 30, हटा दी जाती है। नया माध्य ज्ञात करें।
- योग = 5 × 18 = 90। 30 हटाने के बाद 4 संख्याओं का योग 60 है।
- नया माध्य = 60 ÷ 4 = 15। यह "योग" वाला वही विचार है जो औसत में लगता है।
आँकड़ों की तालिका पढ़ना
नीचे की संख्याएँ अभ्यास के लिए बनाई गई हैं।
एक दुकान द्वारा बेची गई कॉपियाँ
| दिन | कॉपियाँ |
|---|---|
| सोमवार | 30 |
| मंगलवार | 45 |
| बुधवार | 25 |
| गुरुवार | 50 |
| शुक्रवार | 40 |
उदाहरण 6: तालिका से कुल बिक्री, प्रतिदिन औसत, सोमवार से मंगलवार तक की बढ़त, और बुधवार तथा गुरुवार का अनुपात ज्ञात करें।
- कुल: 30 + 45 + 25 + 50 + 40 = 190।
- प्रतिदिन औसत: 190 ÷ 5 = 38।
- सोमवार से मंगलवार तक की बढ़त: 15 ÷ 30 × 100 = 50%।
- बुधवार : गुरुवार = 25 : 50 = 1 : 2।
आम गलतियाँ
- मानों को पहले क्रम में लगाए बिना माध्यिका निकालना।
- मानों की संख्या सम होने पर केवल एक बीच वाला मान ले लेना।
- बहुलक के रूप में बारंबारता लिख देना।
- बारंबारता तालिका में Σfx को Σf के बजाय अलग-अलग मानों की संख्या से भाग देना।
- प्रतिशत बदलाव मूल मान के बजाय नए मान पर निकालना।
अभ्यास सेट
- 2, 4, 6, 8 और 10 का माध्य ज्ञात करें।
- 12, 7, 9, 15 और 10 की माध्यिका ज्ञात करें।
- 3, 5, 5, 8, 8, 8 और 9 का बहुलक ज्ञात करें।
- 3, 8, 1, 6, 10 और 4 की माध्यिका ज्ञात करें।
- कॉपियों वाली तालिका से बताएँ, किस दिन सबसे ज़्यादा कॉपियाँ बिकीं?
- कॉपियों वाली तालिका से बताएँ, शुक्रवार की बिक्री गुरुवार की बिक्री का कितना प्रतिशत है?
- 4, 5 और 9 का माध्य 6 है। यदि हर संख्या में 6 जोड़ दिया जाए, तो नया माध्य क्या होगा?
- एक समूह का परिसर 15 है। यदि हर मान दोगुना कर दिया जाए, तो नया परिसर क्या होगा?
उत्तर:
- 6। 30 ÷ 5।
- 10। क्रम में: 7, 9, 10, 12, 15। बीच वाला (तीसरा) मान 10 है।
- 8। यह तीन बार आता है।
- 5। क्रम में: 1, 3, 4, 6, 8, 10। (4 + 6) ÷ 2।
- गुरुवार, 50 कॉपियों के साथ।
- 80%। 40 ÷ 50 × 100।
- 12। हर मान में 6 जोड़ने से माध्य में भी 6 जुड़ जाता है।
- 30। हर मान को 2 से गुणा करने पर परिसर दोगुना हो जाता है।
आगे क्या करें
- चारों परिभाषाएँ और विषम तथा सम संख्या के लिए माध्यिका का नियम अपने सूत्र कार्ड पर लिखें।
- माध्य से उल्टा चलने वाले दस प्रश्न हल करें, जैसे उदाहरण 3।
- एक हफ़्ते तक रोज़ आँकड़ों की दो छोटी तालिकाओं का अभ्यास करें, और हर तालिका के लिए योग, औसत, प्रतिशत और अनुपात निकालें।
- प्रतिशत और अनुपात दोहराएँ, जिनका उपयोग तालिका वाले ज़्यादातर प्रश्नों में होता है।
तारीख़ों और आँकड़ों पर एक बात। परीक्षा का पैटर्न, रिक्तियाँ और कार्यक्रम हर साल बदल सकते हैं। ताज़ा जानकारी हमेशा Railway Recruitment Boards की वेबसाइट पर जारी नवीनतम अधिसूचना में देखें।
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